数分与高代相互渗透浅析

《数分与高代相互渗透浅析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数分与高代相互渗透浅析姓名史瑞东指导教师马金亭（太原师范学院吕梁办学点数学系0301班山西.离石033000）摘要数分高代是大学数学专业两门独立的基础课，在大一初接触这两门课时，总感觉这两门课程的思想方法有很大区别，可随着专业课程的深入，特别是到了泛函、拓朴、数理统计、概率论等课程的展开，数分与高代中所体现的思想方法的交叉渗透越来越多。本文就从一些很基础的方面以及一些常见的例题入手，浅析一下数分与高代之间的相互交叉。关键词正交矩阵正定矩阵正交补高阶无穷小广义积分向量函数黑赛矩阵一、高代在数分中的应用随着科技的发展，代数学的内容都在不断地充实和更新。在大学里开设

2、的，高等代数课大致涉及了这么三块：多项式、线性代数、样环域理论、高等代数在数分里的应用主要体现了以下两点：a在某些定义的给出或定理的证明上采用了行列式矩阵的书写形式，以寻求简明。这一点主要体现在多元函数微分学和隐函数组定理及应用这两章中。比如象多元函数极值问题；隐函数组定理、反函数组定理的给出和证明；空间曲线切线与法平面的表达式；条件极值等问题。这里只对多元函数极值问题中的二元函数极值充分条件定理的表述及证明列如下：为了给出二元函数f在点取得极值的充分条件，我们假定具有二阶连续偏导数，并记它称为在点的黑赛（）矩阵．定理1（极值充分条件）　设二元函数在点的某邻域

3、内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值．　　证　由在的二阶泰勒公式，并注意到条件，有7　　　　　　　　　由于正定，所以对任何，恒使二次型．因此存在一个与无关的正数ｑ，使得　从而对于充分小的，只要就有　　　　　即在点取得极小值．　　同理可证为负定矩阵时，在取得极大值．　　最后，当不定时，在不取极值．这是因为倘若取极值（例如取极大值），则沿任何过的直线，在亦取极大值．由一元函数取极值的充分条件是不可能的（否则在将取极小值），故而　　　这表明必须是负半定的。同理，倘若取极小值，则将

4、导致必须是正半定的。也就是说，当在取极值时，必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾．　　　　　　　　　　　　□　　根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理1又可写成如下比较实用的形式：若函数如定理1所设。是的稳定点，则有：(ⅰ)当时，在点取得极小值；(ⅱ)当时，在点取得极大值；(ⅲ)当时，在点不能取得极值；7(ⅳ)当时，不能肯定在点是否取得极值．b数学分析与高等代数在研究领域上的交叉这一点，主要体现在向量函数微分这一章，向量本来是线性代数里的一个概念，虽然向量函数微分学转化成了一个数学分析问题，但要解决这一问题高等代数里的n维欧氏空间，向量一

5、向量之间的对应关系，以及行列式，矩阵的手段是不可缺的。为了展示数分一高代在研究领域上的一些交叉，我们通过参考有关资料仅对向量在某些点可微和可微函数（向量函数）的定义给出表述如下：定义：设为开集，若存在某个线性变换，使得时有或则称向量函数f在可微，若与上述线性变换相联系的矩阵为，则称为f在点的微分，并称A为f在点的导数，因而是的一个线性逼近，只是当时，它不再是一个实数，则称f是D上的可微函数，下面来导出矩阵A的元素与f的坐标函数的偏导数的联系，为此设，其中，此时，可微，由实值函数可微性的结论知道于是当f在可微时，f在的导数矩阵为二、数分在高代中的应用在中学数学里

6、我们已初步接触了极限，微积分的思想，大学数学分析正是对，极限、微积分这一思想进一步加深与推广，微分在高代里应用，实质上也就是微积分思想在高等代数里的渗透，具体地讲这种渗透也可以分为以下两种类型：7a在研究代数问题时，采用微积分运算寻求简捷。这种交叉主要体现在多项式这一章，如下面的定理（摘录部分）定理2不可约多项式是的k重因式那么它是微商的k-1重因式（证明略）推论：不可约多项式是的重因式的充分条件为是与的公因式。定理3如果，则没有重根（证明略）等等这一系列定理的表述正式有了微分形式的参与才显得格外的简明。b数分在高代中的应用还体现在研究领域上的一些渗透，这种交

7、叉主要体现在线性空间及线性变换知识块上。当把微积分运算当作一种变换的时候，就可以形成空间到空间的对应关系，而这正是数分与高代都要研究的领域之间的交叉。如下面的例子：例1、在线性空间或者中求微商是一个线性变换（证明略）例2、定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以为代表这个空间中变换是一线性变换（证明略）这两种线性变换在某组基下均可写成矩阵的形式，并且象这样的变换例子是很多的。从以上第一点和第二点可以看出数学中有些问题本身就体现了数学分析与高等代数的联系，所以在一些高数题的解法上自然免不了数分与高代的交叉。三、数分与高代问题与解法的渗透：在这一点上

8、我们可以举出大量的题例：例1：设A是n