高中数学 专题1.6 微积分基本定理教案 新人教a版选修2-2

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1、微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一　微积分基本定理问题　你能用定义计算ʃ

2、dx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1　如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答　由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt，所以ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结　(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(

3、x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答　不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃf(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1　计算下列定积分：

4、(1)ʃdx；(2)ʃ(2x－)dx；(3)ʃ(cosx－ex)dx.所以ʃ(2x－)dx＝ʃ2xdx－ʃdx＝x2

5、＋

6、＝(9－1)＋(－1)＝.(3)ʃ(cosx－ex)dx＝ʃcosxdx－ʃexdx＝sinx

7、－ex

8、＝－1.反思与感悟　求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1　若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1

9、B．S2

10、＝，S2＝ʃdx＝lnx

11、＝ln2<1，S3＝ʃexdx＝ex

12、＝e2－e＝e(e－1)>.所以S2

13、＋x

14、＋(x2－x)

15、＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.反思与感悟　求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对

16、于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2　设f(x)＝求ʃf(x)dx.探究点三　定积分的应用例3　计算下列定积分：ʃsinxdx，ʃsinxdx，ʃsinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解　因为(－cosx)′＝sinx，所以ʃsinxdx＝(－cosx)

17、＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；ʃsinxdx＝(－cosx)

18、＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；ʃsinxdx＝(－cosx)

19、＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.反思与感悟　可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定

20、积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3　求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．☆课堂提高☆1．等于（）A.1B.C.eD.e+1【答案】C【解析】被积函数2.若ʃ(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是(　　)A．5B．4C．3D．2【答案】　D【解析】　ʃ(2x＋)dx＝ʃ2xdx＋ʃdx＝x2

21、＋lnx

22、＝a2－1＋lna＝

23、3＋ln2，解得a＝2.3．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s