高三数学函数的值域与最值第一轮复习学案 人教版

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1、东北育才学校高三数学函数的值域与最值第一轮复习学案高考要求：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．考点回顾：1．函数的值域的定义及函数最值的意义；；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域最值的方法．．4．求函数值域与最值的常用方法：1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；2）判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程的函数．在由且，求出的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值

2、；3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．考点解析：考点1、值域EG1．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），∴的值域为．（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为．又∵，∴，故，∴的值域为．（3）（法一）反函数法：的反函数为

3、，其定义域为，∴原函数的值域为．（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为．（4）换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为．（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴，∴且，∴原函数的值域为．（8），∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．（9）（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值

4、域为．（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．B1-1．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．解：原方程可化为，令，则，，又∵在区间上是减函数，∴，即，故实数的取值范围为：．方法归纳：（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．考点2、求函数的最大值或最小值(列举分析)EG1．求下列函数的最大值或最小值：（1）；（2）；（3）．解：（1），由得，∴当时，函数取最小值，当时函数取最大值．（2）

5、令，则，∴，当，即时取等号，∴函数取最大值，无最小值．（3）解法（一）用判别式法：由得，①若，则矛盾，∴，②由，这时，，解得：，且当时，，∴函数的最大值是，无最小值．解法（二）分离常数法：由∵，∴，∴函数的最大值是，无最小值．B2-1.函数的最大值为16；B2-2．若，则的最大值是6；B2-3．若则的最小值是；B2-4．，在和上是单调递减函数，则的最大值为．考点3、最值的应用EG3．函数在上的最大值与最小值的和为，则2．B3-1.对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为．B3-2.已知函数，，构造函数，定义如下：当时，，当时，，那么（）

6、有最小值，无最大值有最小值，无最大值有最大值，无最小值无最小值，也无最大值方法归纳：1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．3．导数也是经常考虑的方法。实战训练1．函数y=的定义域是(-，1)[2,5)，则其值域是(a)A．(-，0)(，2]B．(-，2]C．(-，)[2，+)D．(0，+)2．函数y=log2x+logx2x的值域是[]DA.(-∞，-1)B.[3，+∞]C.[-1，3]D.(

7、-∞，-1)∪[3，+∞]3．已知，那么等于（A）（B）8（C）18（D）4．函数的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为[]A．B．C．D．5．函数的值域是.6．若的值域是,则的值域是.7．函数的值域为．8．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．7、函数的最大值是（）CA.1B.C.D.8、函数的最大值和最小值分别是（）（A）（B）1，－1（C）（D）C：令则9、若=，则的最小值是．解析：10．已知函数的最小值是（D）A．2B．C．D．11．已知函数的最小值是A．2B．C．D．12．点（a，b）在直线x+2y=3上移动，则2a+4b的最小

8、值是（）A．8B．6C．4D．313．在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最______________值（填“大”或“小”），且该值为_____