2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题

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1、2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题2：函数问题35.（2012吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．（1）求点C、D的纵坐标．（2）求a、c的值．（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．（参

2、考公式：二次函数图像的顶点坐标为）【答案】解：（1）∵点C在直线AB：y=－2x+42上，且C点的横坐标为16，∴y=－2×16+42=10，即点C的纵坐标为10。∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，∴点D的纵坐标为4。（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），∵抛物线经过C、D两点，∴，解得：。∴抛物线的解析式为。（3）∵P为线段OB上一点，纵坐标为5，∴P点的横坐标也为5。∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，∴，解得。当点Q的坐标为（，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为；当点Q的坐

3、标为（，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为。所以线段PQ的长为或。（4）当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。【分析】（1）点C在直线AB：y=－2x+42上，将C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标。（2）抛物线经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标

4、都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。（4）根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，①当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围，②当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即可：根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，∵抛物线y=，∴顶点坐标为（8，2）。联立，解得点B的坐标为（14，14）。①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；②当点Q为

5、线段AB上时，如图所示，当14≤m＜16时，d随m的增大而减小。综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小。36.（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k≠1时，函数

6、为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。综上所述，k的取值范围是k≤2。（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。②如图，∵k1=﹣1，y=﹣

7、2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。∴y的最大值为，最小值为﹣3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。37.

8、（2012湖北随州12分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地,两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示；慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段OC所示。根据图象进