高三数学二轮复习 专题3 不等式问题导学案

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1、专题3：不等式问题（两课时）班级姓名一、前测训练1．解下列不等式：(1)－3x2＋4x＋4＞0(2)≤2(3)4x－3·2－8≤0（4）ax2－ax＋1＜0答案：(1)(－，2)；(2)(－∞，－4]∪(－1，＋∞)；(3)(－∞，]；(4)当0≤a≤4时，解集为Æ；当a＞4时，＜x＜；当a＜0时，x＞或x＜．2．(1)若对任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，则实数m的取值范围是．(2)若对任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是．(3)若对任意－1≤m≤1，

2、都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，则实数x的取值范围是．答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(－1，2)．3．(1)函数y＝1－4x＋(x＞)的最大值为．(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝2，则x＋y的最小值为．答案：(1)－6；(2)8．4．求下列函数的值域：(1)y＝；(2)f(x)＝x＋，x∈[1，2]答案：(1)；(2)当a≤1时，值域为[1＋a，2＋]，当1＜a＜2时，值域为[2，2＋]，当2≤a≤4．值域为[2，1＋a]，当a＞4时，值域为[2＋，1＋a]．5．求下列函数的值域：(

3、1)y＝(x＞)(2)y＝(x≤－1)答案：(1)[，＋∞)；(2)[－，0)．6．设x，y满足约束条件，则(1)z＝x＋2y的最小值为；(2)z＝2x－y的最大值为；(3)z＝x2＋2x＋y2的最大值为；(4)z＝的最大值为．答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)．二、方法联想1．一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况；(4)二次不等式的不等号方向．分式不等式(1)＞0等价于f(x)g(x)＞0；＜

4、0等价于f(x)g(x)＜0．(2)≥0等价于≤0等价于2．恒成立问题(1)二次不等式恒成立问题方法1结合二次函数图象分析．方法2分离变量法(2)一次不等式恒成立问题①若关于x的不等式ax＋b≥0对任意x∈[m，n]上恒成立，则②若关于x的不等式ax＋b≤0对任意x∈[m，n]上恒成立，则3．基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．(3)a，b∈R，≤()2，

5、当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．4．f(x)＝x＋型函数对于f(x)＝x＋，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a＞0时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)为增函数；在(－，0)，(0，)为减函数．注意在解答题中利用函数f(x)＝x＋的单调性时，需要利用导数进行证明．5．f(x)＝

6、(或f(x)＝)型令dx＋e＝t进行换元，转化为f(x)＝x＋型函数问题．6．利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．三、例题分析第一层次学校例1设函数f(x)＝x2＋ax＋3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围．解：(1)－6≤a≤2．(2)－7≤a≤2．思路1：(利用二次函数的图象)注：此方法可改进，由f(2)≥a

7、，f(－2)≥a得－7≤a≤．对称轴x＝－∈[－，]，可少讨论一种情况．思路2：(求函数的最值)注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤，再进行分类讨论．思路3：(变量分离后，再求函数的最值)(3)x≤－3或x≥0．【教学建议】1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，①f(x)≥0，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；②选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥a．③利用函数的图象和

8、几何意义；2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理．第二问是二次不等式对x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．例2在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，且BD＝，求△ABC的面积的最大值．解：S取最大值2．思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值．思路2：（几何方法）【教学建议】1．本题是实际问题中的最值