高中数学 第三章 推理与证明 第4节 反证法学案 北师大版选修1-2

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1、§4　反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．了解反证法的思考过程、特点．1．反证法的定义(1)在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者__________．我们可以先假定命题结论的______成立，在这个前提下，若推出的结果与______________相矛盾，或与命题中的__________相矛盾，或与______相矛盾，从而说明命题结论的反面________成立，由此断定命题的结论______．这种证明方法叫作________．(2)反证法是一种______证明的方法．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．【做一做1】在应用反证法推出矛盾的推

2、导过程中，下列可以作为条件使用的是(　　)．①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．反证法的证明步骤(1)作出__________的假设；(2)进行推理，导出______；(3)否定______，肯定______．适宜用反证法证明的数学命题：(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理．常见的矛盾：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学

3、公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.【做一做2－1】命题“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(　　)．A．a＜bB．a≤bC．a＝bD．a≥b【做一做2－2】若a，b，c不全为零，必须且只需(　　)．A．abc≠0B．a，b，c中至少有一个为0C．a，b，c中只有一个是0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：1．(1)必居其一　反面　定义、公理、定理　已知条件假定　不可能　成立　反证法　(2)间接【做一做1】C2．(1)否定结论　(2)矛盾　(3)假设　结论【做一做2－1】B【做一做2－2】D　a，b，c不全为零，即a，b，c中至少有一个不为

4、0.1．反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现哪些情况？剖析：可能会出现以下三种情况：(1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾．(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾．(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾．2．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，请列举一下常见的“结论词”与“反设词”．剖析：列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q非p且非q至多有n个至少有n＋1个p且q非p或非q题型一

5、反证法证明含否定词的问题【例题1】如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB，CD不能互相平分．分析：本题要证明的是AB，CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB，CD不能互相平分”，不妨假设“AB，CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论．反思：用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立．另外，证明含否定词的命题常用反证法．题型二反证法证明结论中含有“至多”“至少”类命题【例题2】已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y

6、＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.反思：结论中含有“至少”“至多”等词的命题，常用反证法，注意反设要写正确，这是反证法证题的关键．题型三反证法证明不易直接证明的问题【例题3】已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝，求证：x，y，z∈.分析：本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．反思：像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测、不易证明的题目，应考虑用反证法证明．答案：【例题1】证明：假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠C

7、BD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.因此∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾．因此AB，CD不能互相平分．【例题2】证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，即a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾，∴a，b，c中至少有一个大于0.【例题3】证明：假设x，y，z中有负数，不