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《（新课标）2016届高三数学一轮复习 大题冲关集训（四）理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、大题冲关集训(四) 1.(2014福州模拟)如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.(1)求证:EF⊥平面BCE;(2)设线段CD的中点为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解:法一 (1)取BE的中点G,连接AG,由题意知EF⊥BE.由EA=AB知AG⊥BE,所以EF∥AG.∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面A
2、BEF=AB,BC⊥AB,∴BC⊥平面ABEF,∴BC⊥AG.又∵BC∩BE=B,∴AG⊥平面BCE,∴EF⊥平面BCE.(2)当M为AE中点时有PM∥平面BCE.取AB的中点N,连接PN、MN,则MN∥BE,NP∥BC,所以MN∥平面BCE,NP∥平面BCE.又MN∩NP=N,所以平面PMN∥平面BCE,又PM⊂平面PMN且PM⊄平面BCE,∴PM∥平面BCE.法二 (1)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又平面ABEF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABC
3、D.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立直角坐标系Axyz.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,从而,F(0,-,).所以=(0,-,-),=(0,-1,1),=(1,0,0).·=0+-=0,·=0.所以EF⊥BE,EF⊥BC.又BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.(2)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.M(0,0,),P(1,,0).从而=(-1,-,),于是·=(-1,
4、-,)·(0,-,-)=0,所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,故PM∥平面BCE.2.(2014临沂模考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=90°,AB⊥侧面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值;(2)在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).解:法一 (1)∵AB⊥侧面BB1C1C,CC1⊂面BB1C1C,∴AB⊥C1C,又CC1⊥CB且CB∩AB=B,∴CC1⊥平面ABC,∴∠C1BC为直线C1B与
5、底面ABC所成角.Rt△CC1B中,BC1=1,CC1=2,则BC1=.∴sin∠C1BC==.∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为.(2)取CC1的中点F,连接B1F,BF.矩形BCC1B1中,BF=B1F=,BB1=2,∴BF⊥B1F,又∵AB⊥B1F,∴B1F⊥平面ABF,∴B1F⊥AF.故当E与F重合,即E为CC1的中点时有EA⊥EB1.法二 如图,以B为原点建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0)(1)直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC的法向量=(0,2,0),又=(1,2,0
6、),设BC1与平面ABC所成角为θ,则sinθ=
7、cos<,>
8、==.∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为.(2)设E(1,y,0),A(0,0,z),则=(-1,2-y,0),=(-1,-y,z).∵EA⊥EB1,∴·=1-y(2-y)=0.∴y=1,即E(1,1,0).∴E为CC1的中点.3.如图,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP于D,现将梯形ABCD沿线段CD折成60°的二面角PCDA,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)若M为线段CD上的一个动点,问点M在
9、什么位置时,直线MF与平面EFG所成的角最大?并求此最大角的余弦值.(1)证明:∵AD⊥CD,PD⊥CD,∴CD⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.过P作AD的垂线,垂足为O,则PO⊥平面ABCD.过O作BC的垂线,交BC于H,分别以OH,OD,OP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,∵∠PDO是二面角PDCA的平面角,∴∠PDO=60°,又∵PD=4,∴OP=2,OD=2,AO=1,得A(0,-1,0),B(3,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),E(0,1,),F(,1,),G(3,,0),故
10、=(,0,0),=(3,-,-),设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),则即取z=1,得n=(0,-2,1),而=(0,-1,-2),n·=0+2-2=0,∴n⊥,又PA⊄平面EFG,故PA∥平面EFG.(2)解
