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《高中数学 3.2立体几何中的向量方法（3）导学案新人教a版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.学习过程一、课前准备复习1：已知，试求平面的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?分析:过作⊥于O,连结OA,则d=
2、
3、=∵⊥,∴∥.∴cos∠APO=
4、cos
5、∴D.
6、=
7、
8、
9、cos
10、==新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则D.=试试：在棱长为1的正方体中，求点到平面的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※典型例题例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.APDCBMN小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求
11、平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且.已知，求公垂线的长.变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中,，且,是的中点,求异面直线与的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.三、总结提升※学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※知识拓展用向量法求距离的方法是立
12、体几何中常用的方法.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为；2.在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是；3.在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是；4.在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是；5.在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是.课后作业1.如图，正方体的棱长为1，点是棱中点，点是中点，求证：是异面直线与的公垂线，并求的长.2.如图，空间四边形各边以及的长
13、都是1，点分别是边的中点，连结.⑴计算的长；⑵求点到平面的距离.§第三章空间向量（复习）学习目标1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；2.立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.学习过程一、课前准备（预习教材P115－116，找出惑之处）复习1：如图，空间四边形中，.点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中点，则复习2：平行六面体中，，点P,M,N分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：⑴;⑵;⑶;⑷.※主要知识点：1.空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维
14、的”变成“三维的”了.2.立体几何问题的解决──向量是很好的工具①平行与垂直的判断②角与距离的计算※典型例题例1如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2如图，在直三
15、棱柱中，,点M是的中点，求证：.变式：正三棱柱的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线上求一点N，使.例3如图，长方体中，点E,F分别在上，且,.⑴求证：平面;⑵当时，求平面与平面所成的角的余弦值.※动手试试练1.如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为.⑴试建立适当的坐标系，写出点的坐标⑵求的侧面所成的角.练2.已知点A(1,-2,0),向量，求点B的坐标，使得，且.三、总结提升※学习小结1.空间向量的运算与平面向量的方法相同；2.向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.※知识拓展若二面角两
16、个面的法向量分别是，二面角为则，而学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知，且，则k＝；2.已知，则的最小值是（）A.B.C.D.3.空间两个单位向量与的夹角都等于，则4.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为.5.正方体
