2016届高考数学一轮总复习 8.6双曲线练习

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1、第六节　双曲线时间：45分钟　分值：100分一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2B.C.D．1解析　由已知得＝2，且a>0，解得a＝1，故选D.答案　D2．(2014·广东卷)若实数k满足0

2、选A.答案　A3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　由双曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.由e＝＝，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为－＝1.答案　B4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B．3C.mD．3m解析　由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公

3、式得d＝＝.故选A.答案　A5．(2014·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)．不妨取渐近线y＝x，则A点的坐标为(a，b)，从而可知

4、OA

5、＝c.∵由已知可得

6、OF

7、＝

8、AF

9、＝c＝4，∴△OAF为边长是c的等边三角形．又AB⊥OF，∴

10、OB

11、＝a＝2，

12、AB

13、＝b＝2.故所求的双曲线方程为－＝1.答案　A6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右

14、焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则该双曲线的离心率为(　　)A.B．2C.D.解析　由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，渐近线l1的直线方程为y＝x，渐近线l2的直线方程为y＝－x.∵l2∥PF2，∴＝－，即ay0＝bc－bx0.∵点P在l1上，即ay0＝bx0，∴bx0＝bc－bx0，解得x0＝.∴P.∵l2⊥PF1，∴·＝－1，即3a2＝b2.∵a2＋b2＝c2，∴4a2＝c2，即c＝2a.答案　B二、填空题7．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．

15、解析　本题考查双曲线的渐近线方程．由a2＝16，b2＝9，得渐近线方程为y＝±x＝±x.答案　y＝±x8．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．解析　a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝＝＝，∴m＝9.答案　99．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．解析　因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以

16、OA

17、＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab.答案　ab三、解答题10．

18、直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且

19、AB

20、＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．解　(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°.所以tan30°＝＝.于是e2＝＝1＋＝1＋＝.所以e＝.(2)由＝，可设双曲线方程为－＝1，即x2－3y2＝3

21、k2.将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2，得x2－3·3(x－2)2＝3k2.化简得8x2－36x＋36＋3k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

22、AB

23、＝

24、x1－x2

25、＝2＝2＝＝，解得k2＝1.故所求双曲线C的方程为－y2＝1.11．(2015·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解　(1)∵双曲线的渐近线

26、为y＝±x，∴a＝b.∴