2016高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和教师用书 理 苏教版

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1、§6.2　等差数列及其前n项和1．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝

2、am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}

3、中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　×　)(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等

4、差数列．(　×　)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　√　)1．(2014·福建改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.答案　12解析　由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝.答案　20解析　因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.3．

5、在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝.答案　88解析　S11＝＝＝88.4．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为．答案　－49解析　由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.两式相减得a15－a10＝＝5d，∴d＝，a1＝－3.∴nSn＝n·＝＝f(n)，令f(x)＝，x>0，f′(x)＝x(3x－20)．令f′(x)＝0得x＝0(舍)或x＝.当x>时，f(x)是单调递增的；当0

6、n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49.∴nSn的最小值为－49.题型一　等差数列基本量的运算例1　(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝.答案　(1)　(2)5解析　(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)由题意得am＝

7、Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．　(1)若等差数列{an

8、}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝.(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝.(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是．答案　(1)13　(2)48　(3)2解析　(1)由题意得S5＝＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2