《数值分析》word版

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1、3.复化求积公式的收敛性与收敛阶定义：设有一个复化求积公式，如果存在与步长无关的非零常数，使得=则称求积公式是阶收敛的.显然，从复化梯形公式和复化公式的余项可以看出，是二阶收敛的，而是4阶收敛的.对插值型求积公式的收敛性，我们不作证明地给出如下结论：定理：设在区间上黎曼可积，则当插入分点无限增多，即且时，与收敛到积分.最后，我们介绍一下步长的自动选择问题.由上面的收敛性定理可知：加密节点可以提高求积公式的精度.但在使用之前必须给出合适的步长，这却是一个难题.步长取得太大，满足不了精度要求，步长取

2、得太小，又增加了不必要的运算.在计算机上通常采用将区间逐次二等分，反复利用求积公式进行计算，直到所求得前后二次积分的差满足精度为止.§5.3求积公式前面讨论的对积分的插值型求积公式=中，其节点，，…，是给定的且使至少具有次代数精度.这样实际上是限定了求积公式的代数精度，若求积点也可任意选取，则求积公式中含有个待定参数，适当选取这些参数可使求积公式具有次代数精度，称这种用个求积点而具有次代数精度的求积公式为高斯求积公式，个求积点称为高斯点.对于积分构造求积公式≈+使其至少有代数精度3次.解：按要求

3、，为了使求积公式具有3次代数精度，分别令，，，代入上式有，+=2①，+=0②，+=③，+=0④由②得：（+）+（-）=0，利用①得62+（-）=0⑤由②得=-代入③得+=（-）+=（-）=⑥由③得=-代入④得+=（-）+=+（-）=0⑦联立方程⑤⑥⑦，消去（-），注意到＞得=-，=，==1，所以≈+显然，上述的求积公式至少有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式却只有1次代数精度.但是，当稍大时要得到上述方程组的解析解是很困难的，用数值的方法求解上述非线性方程组亦非易事.所以一般利用正交多项

4、式来确定点，，…，，然后，利用插值原理确定求积系数.=其中是点的插值基函数，从而型插值求积公式≈一、点与正交多项式零点的关系定理：对插值型求积公式≈其节点，，…，是点的充分必要条件是次多项式=与任意次数不超过的多项式正交.即=0该定理说明，区间上的点即是在上的次正交多项式的零点.当选定了点后，利用公式6=可以求得系数，从而得到型求积公式.确定，，，使以下公式为求积公式.≈+解：首先构造区间[0，1]上权函数为=首1的正交多项式.设，，…（想法是能确定正交多项式则其零点即是点，）==0，===0+

5、+=0==0从而，，求得其零点为：=0.1788，=0.7101令，=++=，=0.1788+0.71010.1788+0.7101=解得=0.3891，=0.2776所以，高斯求积公式为≈0.3891+二、常用的型求积公式1.求积公式区间[-1，1]上权函数=1的正交多项式是正交多项式=以正交多项式的零点为点的求积公式6≈称为求积公式.当时，即是例1的结论，≈+它是具有3次代数精度的2点插值型求积公式.当时，3次正交多项式的零点=-,=0，=作为点可求出具有5次代数精度的求积公式≈++现将时，

6、正交多项式的零点（高斯点）与相应的求积系数列于下表.公式的求节点数和求积系数点数12±123±，，34±0.8611360.347855±0.3399810.65214545±0.9061800.236927±0.5384690.47862900.568889对于一般区间上的积分作变换=+则有==于是区间上的积分变成了[-1，1]上的积分，从而≈参数，可以在上面的表中查寻.6构造的求积公式，使其具有5次代数精度.解：由代数精度=5，得=2，即2个区间3个节点.令=+=6+4，则，=≈查表得：=-

7、，=0，=，==，=代入上式得≈=4{++}.对求积公式也可以构造复化的求积公式，主要有两种：一是将区间分成等分，在每个小区间上用2点求积公式得到：≈上式称为复化Ⅰ型求积公式；二是将区间等分，在每个小区间上用3点求积公式得到：≈称为复化Ⅱ型求积公式.2.求积公式区间[-1，1]上权函数为的正交多项式是多项式=取其次多项式的零点=（）为高斯点，相应的求积系数为==（）6其中，是关于所选节点的插值基函数.从而求积公式为：≈特别，当时，二次正交多项式为=，因而高斯点为=-，=，算得系数==两点求积公式

8、为≈同理，时，可构造3点求积公式为≈三、求积公式的数值稳定性与收敛性假设在求积公式=中，函数有舍入误差=-，令=，并记求积公式的误差.定义：如果≤，其中是与无关的常数，则称求积公式是数值稳定的.由于求积公式是以正交多项式的零点为点的插值，可以证明，其求积系数都是正的并且求积公式是数值稳定的.更进一不，当在区间上连续时，求积公式是收敛的.即=6