2015-2016学年高中数学 3.4第1课时曲线与方程、圆锥曲线的共同特征练习 北师大版选修2-1

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1、第三章　3.4　第1课时曲线与方程、圆锥曲线的共同特征一、选择题1．(2013·广东省中山一中期中)方程(2x－y＋2)＝0表示的曲线是(　　)A．一个点与一条直线B．两条射线和一个圆C．两个点D．两个点或一条直线或一个圆[答案]　B[解析]　原方程等价于x2＋y2－1＝0，或，故选B．2．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4　B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋)2＋y2＝1[答案]　C[解析]　设P点为(x，y)，曲线上对应点为(

2、x1，y1)，则有＝x，＝y.∴x1＝2x－3，y1＝2y.∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1∴(2x－3)2＋(2y)2＝1.3．“点M在曲线y＝

3、x

4、上”是“点M到两坐标轴距离相等”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B[解析]　到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝

5、x

6、的曲线如图(2)．∴“点M在曲线y＝

7、x

8、上”⇒“点M到两坐标轴距离相等”．故选B．4．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于(

9、　　)A．±3　　　　　　B．0C．±2D．一切实数[答案]　A[解析]　两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.5．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案]　A[解析]　本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义．由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y＝－1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线．6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界

10、上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案]　A[解析]　设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C．二、填空题7．M为直线l：2x－y＋3

11、＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM＝3，则动点P的轨迹方程为________________．[答案]　8x－4y＋3＝0[解析]　设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得，　　∴.因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，动抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是________________

12、．[答案]　＋＝1[解析]　设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0x＋y0y＝4　(

13、x0

14、≤2)，以l为准线过A，B两点的抛物线焦点F(x，y)，A，B到l距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义，

15、FA

16、＋

17、FB

18、＝d1＋d2，即＋＝＋＝4>

19、AB

20、，∴F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，∴c＝1，∴b2＝3，∴方程为＋＝1.三、解答题9．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．[解析]　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP

21、的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，从而由N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：和.10．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在椭圆上运动，B为(4,0)，M点是线段BP上的靠近点P的三等分点，求点M的轨迹方程．[分析]　(1)设右焦点为(c,0)，由点到直线的距离公式可求出c，又b＝1，则可求得a，即可求出椭圆的

22、标准方程．(2)设P(x0，y0)，M(x，y)．由题意可知＝，进而可得(x，y)与(x0，y0)之间的对应关系．利用相关点法，结合点P在椭圆上，代入椭圆方程即可求出M点的轨迹方程．[解析]