次函数及几何应用(不含相似)含答案

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1、3.（2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．解答：解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直

2、线y=﹣2x上．∴抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，∴顶点坐标为：（1，﹣+a），∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2，∴a=﹣；（2）二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3，A（﹣1，0），B（3，0）；（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，∴DE=，∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1，D点

3、的坐标为：（2，），∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．（2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；（2）如图②25，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若

4、点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，

5、从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．BAyO(图②)xDCEFGHM解答：解：（1）令y＝0，由解得；令x＝0，解得y＝8a．∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，该抛物线对称轴为直线x＝3．∴OA＝2．如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1．由题意得：．∴，∴∠O’AM＝60°

6、．∴，即．∴．（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．（Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM．∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．又PD>PM>PB，PA>PM>PB，25∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．∴FB＝3，，∴3≤PB<．BAyO(图③)xDCEFGHP∵PC≥4，∴PC>

7、PB．（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA＝PB．∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．点P的坐标是(3，t)，∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2．整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．显然，满足题意．∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、

8、PB、PC能构成一个平行四边形．点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论