数学分析论文张艳丽

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1、数学分析中极限的求法综述张艳丽德州学院2010级信息与计算科学[摘要]本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法：一、利用两个准则求极限；二、利用极限的四则运算性质求极限；三、利用两个重要极限公式求极限；四、利用单侧极限求极限；五、利用函数的连续性求极限；六、利用无穷小量的性质求极限；七、利用等价无穷小量代换求极限；八、利用导数的定义求极限；九、利用中值定理求极限；十、利用洛必达法则求极限；十一、利用定积分求和式的极限；十二、利用级数收敛的必要条件求极限；十三、利用泰勒展开式求极限；十四、利用换元法求极限。[关键词]迫敛性

2、；单调有界准则；无穷小量的性质；洛必达法则；中值定理；定积分；泰勒展开式；级数收敛的必要条件极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念几乎都可以用极限来描述。因此，极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限可以从以下两方面着手：1、考察所给函数是否存在极限。2、若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。一、利用两个准则求极限1、迫敛性：若一正整数N，当n>N时，有且，则有利用迫敛性求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使

3、得。例[1]陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社：，求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项10则，又因为所以2、单调有界定理：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界定理求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：证明下列数列的极限存在，并求极限。证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为，所以得。因为前面证明是单调增加的。两端除以得。因为，则,从而所以有，即是有界的。根据单调有界定理知有极限，而且极限唯一。令则，则。因为解方程得，所以。

4、二、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1、两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。2、两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则10商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，应首先对函数施行各种恒等变形。例：求极限(1)(2)(3)(4)已知求解：(1)＝＝＝(2)＝＝＝(3)＝＝＝＝-1(4)因为所以三、利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：和在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例[4]李小光

5、，求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2002年3月，20-21：求下列函数的极限10(1)(2)解：(1)＝＝＝＝所以＝＝1(2)＝＝＝＝1四、利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例：，求f(x)在x=0的左右极限10解：右极限＝1，左极限，因为左右极限相等，所以五、利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果u=g(x)在点连续g()=,而y=f(u)在点连续，那么复

6、合函数y=f(g(x))在点连续。即，也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。例：求解：令y＝lnu,u＝，因为lnu在点处连续所以＝＝＝1六、利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间有界，那么。例：求解：因为，所以＝0七、利用等价无穷小量代换求极限：等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为yz，在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。10例：求解：＝＝＝8八、利用导数的定义求极限导数的定义：函数

7、f(x)在附近有定义，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为，即。例：求解：取f(x)=，则＝＝＝＝九、利用中值定理求极限1、微分中值定理：若函数f(x)满足()在连续；()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使。例[2]蔡子华主编，2005年数学复习大全（经济类），现代出版社：求10解：＝＝＝＝2、积分中值定理：设函数f(x)在闭区间上连续;g(x)在上不变号且可积，则在上至少有一点使得例：求解：＝＝十、洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再

8、应用洛必达法则。洛必达法则只说明当等于A时，那么也存在且等于A。如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论例[1]陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社：(1)求(2)求解：(1)由，所以上述极限是待定型10＝＝＝1(2)它为型由对数恒等式可得，=