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1、用空间向量决立体几何问题（高三数学专集五）专题提纲一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α
2、内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α. 求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. 解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1
3、D1的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 ，解得 取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥b例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:
4、CC1⊥BD证明：设 a, b, c,依题意有
5、a
6、=
7、b
8、，于是 a–b ∵ =c(a–b)=c·a–c·b =
9、c
10、·
11、a
12、cosθ–
13、c
14、·
15、b
16、cosθ=0 ∴CC1⊥BD(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α. ①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1解
17、：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z=1得n=(-2,0,1)(I) =-n,从而A1E⊥平面DBC1(II) ,而 n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC1(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2 n1
18、 n1 n2 n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz, 设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 解之得 取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的
19、法向量为n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. 解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,
20、 ∴cos< ， >=.(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α
