导数优化问题举例

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1、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是说明(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f(x)＝(x－3)·ex，f′(x)＝ex(x－2)＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：D2.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　)A．D．(－∞，2]解析：因为h′(x)＝2＋，所以h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：由f′

2、(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，且当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得－2＜a＜2.答案：A7．函数y＝sin2x－x，x∈的最大值是________，最小值是________．解析：∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±.而f(－)＝－＋，f()＝－，端点f(－)＝，f()＝－，所以y的最大值是，最小值是－.答案：　－8．(文)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x

3、＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x＝时，y＝f(x)有极值，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得:Zxxk.4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.设切线l的方程为y＝3x＋m.由原点到切线l的距离为，则＝，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限，∴m＝1.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5

4、；(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：x[来源:Zxxk.Com][－3，－2)－2(－2，)(，1]f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝处取得极小值f()＝.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在上的最大值为13，最小值为.(理)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋mx

5、，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0.①f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知，f′(2)＝12＋8b＋c＝5.得8b＋c＋7＝0.②联立①、②，解得c＝1，b＝－1，于是函数解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2.(2)g(x)＝x3－2x2＋x－2＋mx，g′(x)＝3x2－4x＋1＋，令g′(x)＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x2－4x＋1＋＝0有实根，由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均

6、有g′(x)＞0，故函数g(x)无极值．②当m＜1时，g′(x)＝0有两个实根，x1＝(2－)，x2＝(2＋)，当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值；当x＝(2－)时g(x)有极大值；当x＝(2＋)时g(x)有极小值．9.已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′

7、(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100[来源:学科网ZXXK]元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．150C．200D．300解析：由题意得，总成本函