导体和电介质　习题解答

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1、第10章静电场中的导体和电介质　　习题解答10－1点电荷处在导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为和。试求：（1）；（2）；（3）三个区域的电场强度和电势。为观察点到的距离。解：由高斯定理　　得（1）当时，　当时，当时，（2）当时，当时，当时，BoAPrArCrB10－2一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则习题10－2图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管

2、金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q。根据高斯定理可得　　E4πr2=q/ε0可得P点的电场强度为当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q。用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和。A球是一个等势体，其电势等于球心的电势。A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为DS1S2S0rR2R1εrl10－3　同轴电缆是由半径为R1的直导线和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和

3、-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？该圆柱面上任一点的场强为多少？解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即Φd=q=λ。设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2。通过高斯面的电位移通量为可得电位移为D=λ/2πr其方向垂直中心轴向外。电场强度为　E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr方向也垂直中心轴向外。qobar10－4　如习题10－4图所示，金属球壳原

4、来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a。外壳上就有电荷q+Q，距离球为b。球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为qABC10－5　如习题10－5图所示，三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm2，A、B相距d1=2mm，A、C相距d2=4mm，B、C接地，A板带有正电荷q=3×10-8C，忽略边缘效应．求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面

5、密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S　　　　　①A、B间的场强为　　E1=σ1/ε0A、C间的场强为E2=σ2/ε0设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU=E1d1=E2d2，　　　　　②即σ1d1=σ2d2．　　　　　③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C)q2=q-q1=1×10-8(C)B、C板上的电荷分

6、别为qB=-q1=-2×10-8(C)qC=-q2=-1×10-8(C)(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2)由于k=9×109=1/4πε0所以ε0=10-9/36π因此ΔU=144π=452.4(V)由于B板和C板的电势为零，所以UA=ΔU=452.4(V)Pq1q2ABq10－6一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如习题10－6图所示。则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？解：由于板B原来不带电，两边感

7、应出电荷后，由电荷守恒得q1+q2=0　　　　①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1-E2–E=0即σ1-σ2–σ=0或者说q1-q2+q=0　　　　②解得电量分别为q2=q/2，q1=-q2=-q/2σ2σ1σ4σ310－7　如习题10－7图所示，两平行金属

8、板带有等量异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求两个金属板的四个表面的电荷面密度各为多少？解：由于左板接地，所以σ1=0由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4=0由于两板带等量异号的电荷，所以σ2=-σ3两板之间的场强为E=σ3/ε0而　　E=U/d所以面电荷