数学一轮精品复习学案28定积分

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1、2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第八节定积分【高考目标导航】一、定积分的概念与微积分基本定理1、考纲点击（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义。2、热点提示（1）定积分的运算及其在几何或物理方面的简单应用是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式出现；（2）利用定积分求曲边梯形的面积也是高考常考考点。二、定积分的简单应用1、考纲点击（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义。2、热点提示（1）利用定积分求曲边梯形的面积；（2）利用定积分求变速直线运动的物

2、体的路程；（3）利用定积求变力作的功。【考纲知识梳理】一、定积分的概念与微积分基本定理1、定积分的概念（1）定积分的定义和相关概念①如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0

3、①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）。②一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和（右图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下文的面积等于该区间上积分值的相反数。（3）定积分的基本性质①；②③。注：上述基本性质②的几何意义：如图所示，设在区间[a,b]上恒有f(x)≥0,c是区间（a,b）内的一点，那么从几何图形上看，直线x=c把大的曲边梯形分成了两个曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两

4、个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S=S1+S2，用定积分表示变是性质②2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F’（x）=f（x）,那么=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式。为了方便，常把F(b)-F(a)记成F（x）

5、ab,即二、定积分的简单应用1、几种典型的平面图形面积的计算求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

6、x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S=.（4）如图④所示，当a≤x≤c时，f(x)≤0,当c≤x≤b时，f(x)≥0,∴.注：曲边梯形的面积和定积分的值不一定相等，当曲边梯形有部分在x轴上下方时就不相等，这时要分段计算。2、定积分在物理中的应用（1）变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即。（2）变力作功公式一物体在变力F(x)（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a

7、微积分基本定理（一）定积分的计算（利用定义）1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为①分割；②近似代替；③求和；④取极限。（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即②定义中区间的分法和的取法都是任意的。③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a

8、和式于是，即〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积解析：（1）分割用分点将区间[1，2]等分成个小区间，如图所示，每个区间的长度为Δx=,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作（2）近似代替取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为（3）求和因为每个小矩形的面积都