人教版数学必修(1)

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1、人教版数学必修二第四章圆与方程重难点解析第四章课文目录4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系重点：1、圆的标准方程。2、圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．3、直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．4、用坐标法判断圆与圆的位置关系．5、直线与圆的方程的应用．难点：1、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。2、对圆的一般方程的认识、掌握和运用3、用坐标法判直线与圆的位置关系．4、用坐标法判断圆与圆的位置关系．5、直线与圆的方程的应用．一、圆的标准方程1、圆心为，半径为的标准方程为：由圆的标准方程知

2、它含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。特别地，若圆心为原点，此时，圆的标准方程为2、过圆上一点的切线方程：在圆上，过M的切线方程为当在圆上，过M的圆的切线方程为3、满足如下两点，才可称方程是以为圆心，为半径的圆的方程：(1)若点在以为圆心，为半径的圆上，则必须满足方程；(2)满足方程的点一定在以为圆心，为半径的圆上。4、判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离与半径的大小关系：>点P在圆外；=点P在圆上；<点P在圆内。即点P在圆外的条件是；在圆=上的条件是；在圆内的条件是。5、求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M

3、的坐标，简称建系设点；(2)写出适合条件P的点M的集合P={M

4、P(M)

5、}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．典型例题：例1：(1)已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。(2)已知一个圆的直径的端点是A、B，求该圆的方程。点拨求出圆心、半径或利用求轨迹方程的方法求解。解答(1)A(-1,2)、B(7,8)是圆的直径的两个端点，∴圆心C为线段AB为中点，即C(3,5)。又圆的

6、半径∴圆的方程为(2)设P是所求圆上的任一点，则，，AB为圆的直径，∴，故，即，∴=0(※)当P与A或B重合时，也满足方程(※)故圆的方程为=0总结一是体现从特殊到一般的认识规律；二是想说明在解题时，要根据具体问题的特点灵活地选择解题方法，如第(2)小题也按第(1)小题的方法做就显得繁琐。例2：在圆外？点拨求出两直线的交点坐标，利用交点在圆外寻求的不等式。解答由得两直线交点P的坐标为P在圆外，∴P到圆心(0，0)的距离大于半径3，即，解得或　∴当或时，在圆外总结判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离与半径的大小关系：>点P在圆外；=点P在圆上；<点P在圆内。例3：求过点A(

7、1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线上的圆的方程。(2001年全国文科高考题)点拨本题关键是求出圆心C的坐标，而圆心C应是AB的垂直平分线与已知直线的交点。解答线段AB的垂直平分线方程为由得圆心C的坐标为(1,1)∴所求圆的半径=

8、CA

9、==2∴所求圆的方程为总结在求解解析几何问题时，要强调图形在分析问题中的辅助作用，要适当地应用几何知识来帮助解题，这是简化解题过程中运算量的一个有效技巧。这里的几何知识主要包括两方面的内容：一是应用平面几何中的有关定理(通常在涉及直线和圆的问题中用得上)；二是在求解圆锥曲线的某些问题时，应注意它们的几何定义。例4：求以为圆心，且与直线相切的圆的方程点拨关

10、键是求半径，而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。解答设圆的半径为r∵圆与直线相切∴圆心到直线距离∴圆的标准方程为：例5：已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程。点拨求直线方程，已知了一个点，还需求一个点或斜率，此题求斜率好，因为有直线互相垂直，斜率有关系。或者用轨迹法，根据题目条件列出一关系式。解答法一、如图，设切线斜率为，半径OM的斜率为，∴∵∴∴切线方程为，整理得当点M在坐标上时，上述方程同样适用。法二、设P(x,y)是切线上任意一点，则即整理得即切线方程为:法三、设P(x,y)是切线上任意一点，则∴即整理得∴切线方程为：二、圆的一般方程1、圆的一般方程：将圆的标准方程的展开

11、式为：取得①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如的方程，它表示的曲线一定是圆吗？再将上方程配方，得②不难看出，此方程与圆的标准方程的关系（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程表示的曲线不一定是圆只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程。2、圆的一般方程的特点：（1