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1、2000-06全国联赛一试试题和近三年天津省竞赛试题分类解析专题一集合和函数与导数一、选择题(每小题6分)1.(00全国)设全集是实数,若A={x
2、≤0},B={x
3、=},则是(D)(A){2}(B){-1}(C){x
4、x≤2}(D)2.(01全国)已知a为给定的实数,那么集合M={x
5、x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为()A.1B.2C.4D.不确定解:M表示方程x2-3x-a2+2=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集,选C.3.(02全国)函数f(x)=log1/2(x2-2x
6、-3)的单调递增区间是( )(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1) (C)(1,+∞) (D)(3,+∞)解:由x2-2x-3>0有x<-1或x>3,故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x<-1或x>3。二次函数u=x2-2x-3在(-∞,-1)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减,所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增,故选A。4.(02全国)函数f(x)=x/1-2x-x/2( )(A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数(C)既是偶函数又是
7、奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当x≠0时,因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x),所以f(x)为偶函数,显然f(x)不是奇函数,故选A。5.(06全国)已知集合,,,且,则整数对的个数为()A.20B.25C.30D.42【解】 ;。要使,则,即。所以数对共有。【答】(C)6.(06全国)设,则对
8、任意实数,是的A.充分必要条件B.充分而不必要条件()C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解】显然为奇函数,且单调递增。于是,若,则,有,即,从而有.反之,若,则,推出,即。选A.7.(04天津)已知函数的反函数是,且,则(D)(A) (B)(C)(D)8.(05天津)已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数.如果对于任意的a、b∈R6嵊州市第二中学袁利江2000-06全国联赛一试试题和近三年天津省竞赛试题分类解析都满足f(ab)=af(b)+bf(a),则函数f(x)()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是
9、奇函数也不是偶函数解:A.由f(-1)=-f(1)+f(-1)有f(1)=0,而f(1)=-2f(-1),∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).1.(06天津)已知函数,当时,恒成立,则的取值范围是(D)(A) (B) (C) (D)2.(06天津)已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有(A)(A)67个 (B)68个 (C)69个 (D)70个二、填空题(本题满分54分,每小题9分)3.(01全国)函数y=x+的值域为_______________.解:先平方去掉
10、根号. 由题设得(y-x)2=x2-3x+2,则x=(y2-2)/(2y-3).由y≥x,得y≥(y2-2)/(2y-3).解得1≤y<3/2,或y≥2.由于能达到下界0,所以函数的值域为[1,3/2]∪[2,+∞].说明:(1)参考答案在求得1≤y<3/2或y≥2后,还用了较长的篇幅进行了一番验证,确无必要. (2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.4.(02全国)已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(
11、2002)= 。解:由g(x)=f(x)+1-x得:f(x)=g(x)+x-1,所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1.即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x).∴g(x+1)=g(x).即g(x)是周期为1的周期函数,又g(1)=1,故g(2002)=1.5.(02全国)若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是 。解: 由对称性
12、只考虑y≥0,因为x>0,所以只须求x-y的最小值.令x-y=u代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4