高数b补考复习提纲(微分学

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1、多元函数微分学1、多元函数的概念1）多元函数的定义域：使其表达式有意义的点的全体，是平面上的区域。例1：求函数定义域解：。2）多元函数表达式：变量一致。例2：（A卷填空题1）设，则（）A）；B）；C）；D）解：设，则，代入原式，得于是，所以应选B。3）多元函数的极限与连续：多元初等函数在定义区域内为连续函数，此时有。例3：求解：由于为二元初等函数，点（1，2）在其定义区域内，因此在点（1，2）处连续，于是。2、多元函数的偏导数与全微分1）偏导数：设，则第7页共7页（此时把看成常数）；（此时把看成常数）；1）全微分

2、：设，则。2）例1：设，求。解：，所以。例2：求三元函数的偏导数及全微分解：。。3）多元函数连续，偏导存在，偏导连续和函数连续之间有如下关系：偏导数存在连续函数可微；反之不一定。例3：（A卷选择题2）设函数在点处两个偏导数存在，是在该点连续的（）A）充分条件而非必要条件；B）必要条件而非充分条件；C）充分必要条件；D）既非充分又非必要条件。解：应选D。第7页共7页4）二阶偏导数：；如果在区域D内连续，则。例4：（A卷计算题1）设，求。解：，，所以;,。3、多元复合函数的微分法1）设，，则；例1：设，求。解：，。例

3、2：设具有一阶连续偏导数，求。解：，第7页共7页。2）如，则全导数。例3：设，求解：4．隐函数的求导1）设，则有2）设，则有。例1：设，求。（是常数）解：，则所以。5、多元函数微分学的几何应用1）空间曲线在时对应的点处l切线方程：l法平面方程：2）曲面上一点处l切平面方程：第7页共7页l法线方程：例1：（A卷选择题3）：在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（）A）只有一条；B）只有两条；C）至少有三条；D）不存在。解：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是，所以只有两条切线。应选B。6、多元函数极值1）多元函数极

4、值存在的必要条件设函数在点的邻域内有定义且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有2）多元函数极值存在的充分条件设函数在点的邻域内连续，且存在一阶及二阶连续偏导数，而是驻点，令若1）时有极值，并且；2）时没有极值；3）时无法判定。3）求具有二阶连续偏导数的函数极值（无条件极值）的步骤如下：l求出的点（驻点）；l对每一个驻点，求出l确定的符号，有极值，没有极值；第7页共7页4）条件极值求条件极值的步骤：l构造拉格朗日函数；其中：是目标函数，是已知条件，是待定常数。l求解，从中可求得所得到的点即是在条件下的极值点。例1：

5、试用拉格朗日乘数法讨论，欲建造一容积为的矩形水池（有盖），问如何设计，才能使建筑材料最省？解：设矩形小池的长、宽、高为，由已知，，构造拉格朗日函数，,由实际问题极值的唯一性，可知，当矩形水池的长、宽、高分别为时，表面积最小，使用的建筑材料最省。7、方向导数与梯度（了解）1)方向导数l函数在点沿着方向的方向导数为：l函数在点沿着方向的方向导数为：第7页共7页。例1：函数在点处沿点指向点方向的方向导数。解：这里为的方向，向量的方向余弦为又，，所以，于是。1）梯度l函数在点处梯度为：l函数在点处梯度为：例2：（A卷填空

6、题1）函数在点M处的梯度grad；解：，于是。第7页共7页