非线性模型参数的minimax估计

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1、二次损失下Guass-Markov非线性模型系数的Minimax随机优化模型吴雄韬易艳春(衡阳师范学院数学系湖南衡阳421008)摘要：本文借用线性模型系数的Minimax估计方法，在二次损失函数下运用随机优化理论对Guass-Markov非线性模型的系数进行了研究，建立了非线性模型系数Minimax估计的随机优化模型.关键词：Minimax估计；随机优化；二次损失函数.中图分类号：O211.67文章标识码A0引言考虑Guass-Markov非线性模型：(1.1)其中，为维未知参数向量，为不可观测的随机误差，为随机设计阵，为观测向量

2、，是包含随机设计阵和参数的非线性函数.实际中，和是可测的为了方便讨论，引入如下记号：近些年来，有关非线性模型系数的估计问题越来越受到人们的重视，其理论也越来越成熟，其中Minimax估计方法源自冯.诺依曼的博奕理论，在研究线性模型参数的统计分析与决策问题中应用非常成熟，如文[1],[2]在这个方面就做了很深入的探讨，但在非线性模型理论研究方面一直还处在探讨之中，如Alexandershaprir,J.R.Birg,J.Dupacov,R.Jagannatha,EfronB,MorrisC等人在随机优化、大样本近似随机优化、线性随机规

3、划模型方面做了一定的研究.本文将在结合线性模型参数估计Minimax方法的基础上利用随机优化理论对非线性模型系数的Minimax估计进行了研究.得出了非线性模型系数的Minimax估计的随机优化模型.1定义及符号说明定义1.1、在模型（1-1）中，如果对于一切都有：则称是模型（1-1）系数估计的一个风险上界.基金项目：湖南省教育厅一般项目资助.作者简介：1吴雄韬（1975-），男，湖南衡阳人，讲师，硕士，主要从事概率论与数理统计方面的研究.Tel:15874755418E-mail:wxt8091679@163.com.2易艳春（1

4、974-），女，湖南常宁人，副教授，硕士，主要从事概率论与数理统计方面的研究.定义1.2在模型（1-1）中，设是模型（1-1）参数的一个风险上界，如果存在参数的一个估计对于所有的有：则称是系数的一个Minimax估计.1.3符号说明：（为常数）;;；;；；;；（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）2、定理与结论定理2.1在二次损失下，模型（1-1）存在风险上界的充要条件是（1）当时，对于一切，是一个风险上界；（2）当时，对于一切，是一个风险上界；证明：因为=（1）当时，对于一切，显然有；（2）当时，对于一切，显然有定理2

5、.2在二次损失下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化问题的最优解问题.证明：由定理2.1的（1）式知，当时，对于一切，是模型（1-1）系数的一个风险上界，由Minimax估计定义可知，当这个风险上界达到最小值时，就是非线性模型系数的Minimax估计，因此对应问题就可以转化为如下相应随机优化问题的最优解.（2.1）由定理2.1的（2）式知，当时，对于一切，是模型（1-1）系数的一个风险上界，因此对应问题就可以转化为如下相应随机优化问题的最优解.（2.2）下面对随机优化问题的约束条件进行转化：其中显然成立，因为所

6、有的随机优化问题都是在期望上讨论问题，因此，下面主要是把第二个条件进行转化——=即=因此，这个条件转化为随机优化问题的约束条件为：（2.3）由上面（2.3）我们知道，（2.1）、2.2）对应问题就可以转化为如下相应随机优化问题的最优解问题.因此，在二次损失下模型（1-1）系数的Minimax估计问题就可以转化求如下随机优化模型的最优解问题：定理2.3在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解.证明：由定理2.2知，在二次损失下模型（1-1）系数的Minimax估计问题就可以转化求如下随机优

7、化模型的最优解问题：下面我们来看看再看看目标函数表达式：=由于，因此与的最优解相同。于是，这就证明了在二次损失下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解.定理2.4在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解等价于求随机优化子问题的最优解.证明：由定理2.3知，在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解，对于第一个目标函数（为常数，且），由于为常数，目标函数的主要部分为，又由于，即，因此；对于第二个目标函数，（为常数，

8、且），由于为常数，目标函数的主要部分为，又由于，即，因此，结合约束条件可以得到随机优化模型的最优解等价于求随机优化子问题的最优解.参考文献[1]徐兴忠.二次损失下回归系数的线性Minimax估计.数学年刊,1993,14A(5):62