集合与函数的概念章末总结

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1、一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算．1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．[例1]　(1)集合A＝{y

2、y＝x}，B＝{y

3、y＝x2}，则A∩B＝________.(2)集合A＝{(x，y)

4、y＝x}，B＝{(x，y)

5、y＝x2}，则A∩B＝________.[解析]　(1)集合A是函数y＝x的值域，∴A＝R，集合B是函数y＝x2的值域，∴B＝{y

6、y≥0}，∴A∩B＝{y

7、y≥0}．故填{y

8、y≥0}．(2)集合A是直线y＝x上的点的集合，集合B是抛物线y＝x2的图象上点的集合，∴A∩B是方程组

9、的解为坐标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．[例2]　集合A＝{x

10、x<－1或x>2}，B＝{x

11、4x＋p<0}，若，则实数p的取值范围是________．[解析]　B＝{x

12、x<－}∴结合数轴可知－≤－1，∴p≥4.[例3]　设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，(∁UA)∩B＝{d}，(∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的为(　　)A．c∈A且c∈B　　　B．c∈A且c∉BC．c∉A且c∈BD．c∉A且c∉

13、B[答案]　B[解析]　画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部分，(∁UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内，又(∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，∴c∈A且c∉B，选B.3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性．[例4]　集合A＝{a，，1}，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2009＋b2010＝________.[解析]　由条件知，或，∴，但由

14、互异性知，a≠1，∴，∴a2009＋b2010＝－1.4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．[例5]　集合A＝{x

15、x2＋x＋a＝0}，B＝{－2,1}，若AB，则实数a的取值范围是________．[解析]　①当Δ＝1－4a<0，即a>时，A＝∅，满足AB；②当Δ＝0即a＝时，A＝{－}，不合题意．③当Δ>0时，集合A中有两相异元素，故AB不可能成立，综上所述a>.5．新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么．[例6]　A、B都是非空集合，定义A*B＝{x

16、x＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b∉

17、A∩B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为________．[解析]　由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b，∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.6．熟练掌握A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B及集合的运算是解决一些集合问题的基础．[例7]　(1)如果全集U＝{x

18、x2－5x－6<0，x∈N＋}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∪B)＝________，A∩∁UB＝________.(2)设A＝{x

19、x－a＝0}，B＝{x

20、ax－1＝0}，且A∩

21、B＝B，则实数a的值为(　　)A．1B．－1C．1或－1D．1，－1或0[解析]　(1)∵U＝{x

22、(x－b)(x＋1)<0，x∈N＋}＝{x

23、－1

24、二次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”．[解析]　(1)∵0≤x≤1时，f(x)有意义，∴要使f(2x－1)有意义．须0≤2x－1≤1，∴≤x≤1，故所求定义域为[，1]．(2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使f(x)有意义的x的允许取值范围是2≤x≤3，故所求定义域为[2,3]．3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y＝x等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征

25、和平移．(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称；(3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；