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1、第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r2+pr+q)erx=0.由此可见
2、,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数、是方程的解,又不是常数.因此方程的通解为.(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常数.因此方程的通解为.(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=a±ib
3、时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由欧拉公式,得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关
4、解.因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx).求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.例1求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y
5、x=0=4、y¢
6、x=0=-2的特解.解所
7、给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y
8、x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y¢
9、x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3求微分方程y¢¢-2y¢+5y=0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n阶常
10、系数齐次线性微分方程:方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+×××+pn-1y¢+pny=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2,×××,pn-1,pn都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+×××+pn-1D+pn,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+×××+pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注:D叫做微分算子D0y=y,Dy=y¢,D2y=y¢¢,D
11、3y=y¢¢¢,×××,Dny=y(n).分析:令y=erx,则L(D)y=L(D)erx=(rn+p1rn-1+p2rn-2+×××+pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=erx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2rn-2+×××+pn-1r+pn=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Cerx;一对单复根r1,2=a±ib对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx);k重实根r对应于k项:er
