二次微分方程的通解.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解rxrx我们看看能否适当选取r使ye满足二阶常

2、系数齐次线性微分方程为此将ye代入方程ypyqy0得2rx(rprq)e02rx由此可见只要r满足代数方程rprq0函数ye就是微分方程的解2特征方程方程rprq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式2pp4qr1,22求出特征方程的根与通解的关系r1xr2x(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数y1e、y2e是方程的两个线性无关的解这是因为yer1xr1xr2x1(r1r2)x函数y1e、y2e是方程的解又rxe不是常数ye22因此方程的通解为r1xr2xyC1eC2er1xr1x

3、(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数y1e、y2xe是二阶常系数齐次线性微分1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯方程的两个线性无关的解r1x这是因为y1e是方程的解又(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2rxr2)er1xp(1xr)er1xqxer1x111r1x(2)r1x(2)0er1pxer1pr1qrxrxy2xe11所以y2xe也是方程的解且rxx不是常数ye11因此方程的通解为r1xr1xyC1eC2xe(i)x(i)x(3)特征

4、方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye、ye是微分方程的两个线性无xx关的复数形式的解函数yecosx、yesinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解(i)x(i)x函数y1e和y2e都是方程的解而由欧拉公式得(i)xxy1ee(cosxisinx)(i)xxy2ee(cosxisinx)xx1y1y22ecosxecosx(y1y2)2xx1y1y22iesinxesinx(y1y2)2ixx故ecosx、y2esinx也是方程解xx可以验证y1ecosx、y2esinx是方程的线性无关解因此方程的通解为xye(C1c

5、osxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程2rprq0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为2r2r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为x3xyC1eC2e例2求方程y2yy0满足初始条件y

6、x04、y

7、x02的特解2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解所给方程

8、的特征方程为22r2r10即(r1)0其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为xy(C1C2x)e将条件y

9、x04代入通解得C14从而xy(4C2x)e将上式对x求导得xy(C24C2x)e再把条件y

10、x02代入上式得C22于是所求特解为xx(42x)e例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为2r2r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此所求通解为xye(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程(n)(n1)(n2)yp1yp2ypn1ypny0称为n阶常系数

11、齐次线性微分方程其中p1p2pn1pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式nn1n2L(D)=Dp1Dp2Dpn1Dpn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作nn1n2(Dp1Dp2Dpn1Dpn)y0或L(D)y0023n(n)注D叫做微分算子DyyDyyDyyDyyDyyrx分析令ye则rxnn1n2rxrxL(D)yL(D)e(rp1rp2rpn1rpn)eL(r)erx因此如果r是多项式L(r)的根则ye是微分方程L(D)

12、y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程nn1n2L(r)rp1rp2rpn1rpn0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应rx单实根r对应于一项Ce3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x一对单复根r