二次微分方程的通解.docx

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1、.第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是

2、微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式pp24qr1,22求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解这是因为函数y1r1x、y2er2x是方程的解y1er1x(r1r2)x不是常数e又er2xey2因此方程的通解为yC1er1xC2er2x(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分1/8.方程的两个线性无关的解这是因为y1er1x是方程的解又(xer1x)p

3、(xer1x)q(xer1x)(2rxr2)er1xp(1xr)er1xqxer1x111er1x(2r1p)xer1x(r12pr1q)0所以yxer1x也是方程的解y2xer1xx不是常数且2y1er1x因此方程的通解为yC1er1xC2xer1x(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1e(y1e(i)xy2e(i)xi)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得ex(cosxisinx)ex(cosxi

4、sinx)y1y22excosxexcosx1(yy2)21y1y22iexsinxexsinx1(yy)2i12故excosx、y2exsinx也是方程解可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不

5、相等的实根因此所求通解为yC1ex3xC2e例2求方程y2yy0满足初始条件y

6、x04、y

7、x02的特解2/8.解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C12xCx)e将条件y

8、x04代入通解得C14从而y(4C2x)ex将上式对x求导得y24C2x)ex(C再把条件y

9、x02代入上式得C22于是所求特解为x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此所求通解为yex(C1cos2xC2sin2x)n阶常系

10、数齐次线性微分方程方程(n)1(n1)2(n2)n1yny0ypypypp称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p12n1n都是常数ppp二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dn1n12n2pn1DpnpDpD则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)分析令yerx则rx(rn1n12rn2n1nrxrxL(D)yL(D)eprpprp)eL(r)e因此

11、如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rn1n12rn2pn1nprprp0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx3/8.一对单复根r12i对应于两项ex12sinx)(CcosxCrxk1k重实根r对应于k项e(C1C2xCkx)一对k重复根r12i对应于2k项x[(CCxk1x(DDxDxk1)sinx]e1Cx)cos12k2k例4求方程y(4)2y5y0的通解解这里的特征方程为r42r35r20即r2(r22r5)0它的根是r1r20

12、和r3412i因此所给微分方程的通解为yC12x34