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1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象2006级本科授课题目第十一讲 二元函数的微分与极值课时数4教学目的通过教学使学生掌握二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，掌握最值的求法，会利用这些理论解决生产实际的应用问题。重点难点1．重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法；2．难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。教学提纲第十一讲二元函数的微分与极值一、多元函数的微分1.多元函数的极限2、偏导数3、全微分二、极值与最值1．二元函数的无条件极值2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法3．二元函数的最值三、应用1.曲面的切平面与法线方程2.场论
2、初步13教学过程与内容教学后记第十一讲 二元函数的微分与极值二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。一、多元函数的微分1.多元函数的极限,也记作或f(P)®A(P®P0).【说明】(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于时,函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.例1：设,求证.【证明】因为,因此.例2：讨论：函数在点(0,0)有无极限？【解】:当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,;当点P(x,y)沿直线y=kx有.因此,函数f(x,y)在(0,0)处无极
3、限。2、偏导数13【说明】关于求导时，暂时把看成常数。例３：验证函数满足方程. 【证明】因为,所以,,. 因此. 3、全微分如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)可表示为, 即 其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称ADx+BDy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dz=ADx+BDy.【说明】 （１）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则函数在该点的偏导数、必定存在，但反过来不对；（２）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则函
4、数在该点连续；（３）、在(x,y)存在，函数z=f(x,y)在(x,y)不一定连续例4：讨论函数在点(0,0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性。【解】13函数在点(0,0)处连续；由偏导数的定义知fx(0,0)=0及fy(0,0)=0；但函数在(0,0)不可微分,这是因为当(Dx,Dy)沿直线y=x趋于(0,0)时,.不趋向0.4、偏导数的求法（1）复合函数求导法，例5：（1）,求（2）,求【解】(1)(2)（2）隐函数求导法若函数由方程确定，方程两边关于求导，，所以，，同理，例6：13（1）若函数由方程确定，求。（C）（2）若函数由方程组确定，求。【解】(1)C(2)方程两边关于求
5、导 解得例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求 (1)；（2）记，求.【解】(1),(2)（3）高阶导数,,13例7：设函数在内具有二阶导数，且满足等式.验证.【说明】利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得【解】设，则.，.将代入得 .例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【解】，故，所以=13二、极值与最值1．二元函数的无条件极值(1)二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(
6、2)二元函数取得极值的必要条件：设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。(3)二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则当且A<0时，f为极大值；当且A>0，f为极小值；时，不是极值点。【注意】当B2－AC=0时，函数z=f(x,y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例9：求函数z=x3+y2－2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，．,,．再求函数的驻点．令=0，=0，得方程组求得驻点(
7、0，0)、．利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0,0)，由于A=0,B=－2，C=2，B2－AC0,故(0,0)不是函数z=f(x,y)的极值点．13(2)对驻点，由于A=4,B=－2，C=2,B2－AC=－40,且A0,则为函数的一个极小值．例10：设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】因为，所以，.令得故将上式代入，可得或由于，
