高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教a版选修2-3

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1、1.3.3二项式定理习题课教学目标　　　　　知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭

2、能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点　　　　　教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的____________

3、__，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：____________________.(2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是__

4、__________________．答案：1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、C、变量前的常数2．(1)C＝Cn－mn　(2)C＝C＋C(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Cn最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn＝Cn最大(4)C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n　赋值法类型一：二项展开式的有关概念例1试求：(1)(x3－)5的展开式中x5的系数；(2)(2x2－)6的展开式中的常数项；(3)在(x＋)100的

5、展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)Tr＋1＝C(x3)5－r(－)r＝(－2)rCx15－5r，依题意15－5r＝5，解得r＝2.故(－2)2C＝40为所求x5的系数．(2)Tr＋1＝C(2x2)6－r(－)r＝(－1)r·26－r·Cx12－3r，依题意12－3r＝0，解得r＝4.故(－1)4·22C＝

6、60为所求的常数项．(3)Tr＋1＝C(x)100－r()r＝C·350－·2x100－r，要使x的系数为有理数，指数50－与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k(k∈Z)，又0≤6k≤100，解得0≤k≤16(k∈Z)，∴x的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：(1)(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；(2)(

7、x

8、＋－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)

9、10＝x10＋20x9＋180x8＋…，∴(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(

10、x

11、＋－2)3＝(－)6，∴所求展开式中的常数项是－C＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数．解：∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝＝，∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数－C＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单

12、的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【巩固练