高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教a版选修2-3

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1、1.3.3二项式定理习题课教学目标     知识与技能1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质.4.会用二项式系数的性质解决一些简单问题,并能熟练地使用赋值法.过程与方法1.能解决二项展开式的有关概念问题:项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等.2.能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题.3.能用二项式系数的有关性质,解决诸如:最值、二项式系数和、系数和等问题.情感、态度与价值观1.培养学生对整个数学知识的驾驭

2、能力,能在一定高度上进行数学知识的应用.2.培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力.3.进一步提升学生学好数学用好数学的积极性,进一步提升学生学习数学的兴趣.重点难点     教学重点:掌握二项展开式,掌握二项式系数的有关性质,掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法.教学难点:利用二项式定理解决有关问题,利用二项式系数的性质解决有关问题.前面我们学习了二项式定理,请回顾:1.(a+b)n=________________(n∈N*),这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做(a+b)n的____________

3、__,其中C(r=0,1,2,…,n)叫做______________,通项是指展开式的第__________________项,共有____________项.其中二项式系数是____________,系数是____________.2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性:____________________.(2)性质2:______________________.(3)二项式系数的最大值________________________.(4)二项式系数之和____________________,所用方法是__

4、__________________.答案:1.(a+b)n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N)、展开式、二项式系数、r+1、n+1、C、变量前的常数2.(1)C=Cn-mn (2)C=C+C(3)当n是偶数时,中间的一项取得最大值,即Cn最大;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,即Cn=Cn最大(4)C+C+C+…+C+…+C=2n 赋值法类型一:二项展开式的有关概念例1试求:(1)(x3-)5的展开式中x5的系数;(2)(2x2-)6的展开式中的常数项;(3)在(x+)100的

5、展开式中,系数为有理数的项的个数.思路分析:理解二项展开式的有关概念,什么是二项式系数,什么是系数,什么是项,什么是常数项、有理项、无理项等,其实都是由通项入手,根据变量的系数、指数进行判断,当指数为0时是常数项,当指数是整数时是有理项,当指数是分数时是无理项.解:(1)Tr+1=C(x3)5-r(-)r=(-2)rCx15-5r,依题意15-5r=5,解得r=2.故(-2)2C=40为所求x5的系数.(2)Tr+1=C(2x2)6-r(-)r=(-1)r·26-r·Cx12-3r,依题意12-3r=0,解得r=4.故(-1)4·22C=

6、60为所求的常数项.(3)Tr+1=C(x)100-r()r=C·350-·2x100-r,要使x的系数为有理数,指数50-与都必须是整数,因此r应是6的倍数,即r=6k(k∈Z),又0≤6k≤100,解得0≤k≤16(k∈Z),∴x的系数为有理数的项共有17项.点评:求二项展开式中具有某特定性质的项,关键是确定r的值或取值范围.应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念,要加以区分.【巩固练习】试求:(1)(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数;(2)(

7、x

8、+-2)3的展开式中的常数项.解:(1)∵(x+2)

9、10=x10+20x9+180x8+…,∴(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数是-1+180=179.(2)∵(

10、x

11、+-2)3=(-)6,∴所求展开式中的常数项是-C=-20.类型二:二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数.解:∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5==,∴所求展开式中x2的系数就是(x-1)6的展开式中x3的系数-C=-20.点评:这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加,或扩展为简单

12、的三项展开式的问题,求解的关键在于转化为二项展开式的问题,转化时要注意分析题目中式子的结构特征.能够最大限度地考查学生对知识的把握程度.                        【巩固练

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