高中数学 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 2 球的体积和表面积教案 新人教a版必修2

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1、《1.3.2球的体积和表面积》一、教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式、表面积公式.2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神.提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.二、教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算

2、公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体.四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.球的概念：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球.一个球用表示它的球心的字母表示，例如球．2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？（1）．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V

3、)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。（2）．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)表中

4、l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。3．正四面体：每个面都是正三角形的正三棱锥。教师提出问题，学生思考作答.方面唤起学生对球体的概念的认识，加深印象；另一方面，为本节做好必要的知识铺垫.教学环节教学内容师生互动设计意图知识的形成问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.1．球的体积可先求半径为的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式.取三个形状不同的容器，其中一个是半球形

5、的，一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：所以，师生共同完成倒水实验，教师引导学生探索发现球的体积公式.从实验入手，激发学生的学习兴趣，让学生发现并体验数学中的美2球的表面积：（以后讲）又∵，且∴可得，又∵，∴，∴即为球的表面积公式小结：球的体积公式、表面积公式都是以R为自变量的函数。教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透

6、微积分思想.应用举例练习1：如果球的体积是36cm3,那么它的半径是.3练习2：若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（C）（A）8：27（B）2：3（C）4：9（D）2：9例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=.教师引导学生共同完成（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变

7、式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a,球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？图1图2图3让学生巩固加深所学内容并灵活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中

8、的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，………………………3分因此该几何体的全面积是：2×4×4+4×4×2=64(cm2),即几何体的全面积是64cm2.………………………6分(2)由长方体与球的性质可得，