高中数学 专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程教案 新人教a版选修2-2

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1、1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程【教学目标】1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【教法指导】本节学习重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．本节学习难点：了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？☆探索新知☆探究点

2、一　求曲边梯形的面积思考1　如何计算下列两图形的面积？答　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题　如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?思考2　图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考3　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答　(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的

3、近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．Sn＝Si≈()2·Δx＝()2·(i＝1,2，…，n)＝0·＋()2·＋…＋()2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝(1－)(1－)．∴S＝Sn＝(1－)(1－)＝.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4　在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答　以上方法都能求出

4、S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替在区间[，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈()2·.(3)求和曲边梯形的面积近似值为S＝Si≈()2·＝0·＋()2·＋()2·＋…＋()2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝(1

5、－)(1－)．(4)取极限曲边梯形的面积为S＝(1－)(1－)＝.反思与感悟　求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割

6、将区间[0,2]n等分，则Δx＝，取ξi＝.(2)近似代替求和Sn＝]2·＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝(1－)(1－)．(3)取极限S＝Sn＝(1－)(1－)＝.∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为。探究点二　求变速运动的路程思考　利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？例2　汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻

7、t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？解　分割将时间区间[0,1]分成n个小区间，[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，则第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)．(2)近似代替第i个小矩形的高为v[－()]，∴△si≈v[－()]·＝[－()2＋2]·.(3)求和sn＝[－()2＋2]＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2＝－＋2＝－(1－)(1－)＋2.(4)取极限s＝sn＝[－(1－)(1－)＋2]＝.∴这段时间行驶的路程为km.反思与感悟　(1)把变速直线运动的路

8、程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．(2)从函数的角度来看，求变速