2014高考数学总复习 3-8 解三角形应用举例练习 苏教版

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1、【高考领航】2014高考数学总复习3-8解三角形应用举例练习苏教版【A组】一、填空题1．在地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则山顶的仰角为________．解析：如图，设站在A处，CD表示山顶建筑物，C为山顶，则∠DAC＝α，∠DAB＝β，所以观测山顶的仰角为∠CAB＝β－α.答案：β－α2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________．解析：如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，

2、∴v＝＝(海里/小时)．答案：海里/小时3．(2013·龙岩质检)已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为________．解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10(km)．答案：10km4．(2011·高考重庆卷)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析：依题意得两式相减得ab＝.答案：5．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°

3、的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：由题图知，连接OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，∴OC＝50.答案：506．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝____.解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，可

4、得B＝，根据正弦定理＝，＝，sinA＝.答案：7．2012年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在仰角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离直线距离为10米，则旗杆的高度为________米．解析：根据题意，建立图形模型(如图)，设CD＝h，则BC＝h，又∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.因为AB＝10，所以根据正弦定理＝，解得BC＝20，所以h＝30.答案：30二、解答题8．如图，A，B是海面上位于东西方向

5、相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得

6、CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．9．(2013·江苏省南京市高三第二次模拟考试数学试卷)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，(1)设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围．(2)求四边

7、形ABCD面积的最大值．解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cosA.即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cosA.解得cosA＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．(2)四边形ABCD的面积S＝(AB·AD＋CB·CD)sinA＝[x(5－x)＋x(9－x)

8、]＝x(7－x)＝＝.记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－1