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《2014届高考数学一轮复习 第51讲《空间角及其计算》热点针对训练 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.已知二面角αlβ的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角是(B)A．30°B．60°C．90°D．120° 2.(2012·东北三省四市教研协作体第二次调研测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(C)A.B.C.D.解析：令AB＝1，则AA1＝2，连接A1B.因为CD1∥A1B，异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角．在△A1BE中，由余弦定理易得cos∠A1BE＝，故选C. 3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,
2、1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是(D)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°. 4.(2013·河北省普通高中质量检测)三棱锥PABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角APBC的大小为(D)A．90°B．30°C．45°D．60°解析：取PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，所以∠AMC为二面角APBC的平面角．在等边△PAB与等边△PBC中知AM＝CM＝a，即△AMC为正三角形，所以∠AMC＝60°，故选D. 5.(2012·江西省吉安市二模)已知正六棱锥的底
3、面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于 .解析：设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为θ，则×6××12×h＝，解得h＝，于是tanθ＝，故θ＝. 6.(2012·福建省福州市3月质检)已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(D)A.B.C.D.解析：由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S在底面上的射影是底面正三角形的中心O，则AO＝×＝，所以cos∠SAO＝＝＝，故选D. 7.(2012·海南海口4月检测)正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为 120° .解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标
4、系，如图．设A(1,0,0)，则D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，则＝(－1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量，则n·＝0，n·＝0，又＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，所以，所以，令x＝1，则z＝1，所以n＝(1,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝＝－，所以〈，n〉＝120°，故二面角ABD1B1的大小为120°. 8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF、C1E与AB所成的角分别为α，β，求α＋
5、β.解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，所以cos〈，〉＝，cos〈，〉＝，所以cosα＝，cosβ＝，sinβ＝，所以α＋β＝90°. 9.(2013·广东省高州市二模)已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)二面角ABDC的余弦值．解析：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂
6、足为H，则AH⊥平面DBC，所以∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角，由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH＝DH，所以∠ADH＝45°.所以直线AD与平面BCD所成的角为45°.(2)过H作HR⊥BD，垂足为R，连接AR，则由AH⊥平面BCD，所以AH⊥BD，AH∩HR＝H，所以BD⊥平面AHR，所以BD⊥AR.故∠ARH为二面角ABDC的平面角的补角，设BC＝a，则由题设知，AH＝DH＝a，BH＝.在△HDB中，HR＝a，所以tan∠ARH＝＝2，故二面角ABDC的余弦值的大小为－.
