2014届高考数学一轮复习 第61讲《轨迹问题》热点针对训练 理

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1、1.(2012·安徽省皖南八校联考)若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是(D)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析:因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线,故选D. 2.(2012·山西省太原五中高三9月)实数变量m,n满足m2+n2=1,则坐标(m+n,mn)表示的点的轨迹是(D)A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线的一部分解析:设x=m+n,y=mn,则x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此变量x的取值也有限制,所以点

2、(m+n,n)的轨迹为抛物线的一部分,故选D. 3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是(B)A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由条件知

3、PA

4、=

5、PQ

6、,则

7、PO

8、+

9、PQ

10、=

11、PO

12、+

13、PA

14、=R(R>

15、OQ

16、),所以点P的轨迹是椭圆,故选B. 4.(2012·甘肃省天水市预测)已知点A(-1,0)和圆x2+y2=2上一动点P,动点M满足2=,则点M的轨迹方程是(C)A.(x-3)2+y2=1B.(x-)2+y2=1C.(x-)2

17、+y2=D.x2+(y-)2=解析:设M(x,y),P(x0,y0),由2=,则2(-1-x,0-y)=(x0+1,y0-0),即(-2-2x,-2y)=(x0+1,y0),所以.又点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,所以x+y=2,即(-2x-3)2+(-2y)2=2,化简得(x-)2+y2=,故选C. 5.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹方程为 x+2y-5=0 .解析:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).因为=λ1+λ2,所以.又λ1+

18、λ2=1,所以x+2y-5=0. 6.(2013·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是 x2+3y2=1(x>0,y>0) .解析:设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.因为点Q与点P关于y轴对称,所以点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=x,b=3y代入上式得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0). 7.(2013·广

19、东高州市模拟)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x-2)2+(y+1)2=1 .解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则,即,代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1. 8.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过点P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解析:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知

20、得,解得,所以b2=7,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4].由已知得=e2.而e=,故16(x2+y)=9(x2+y2).①由点P在椭圆C上得y=,代入①式并化简得9y2=112,所以点M的轨迹方程为y=±(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段. 9.(2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨

21、迹Q的方程.解析:(1)两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而=1,即p=2,

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