2014届高考数学一轮复习 7.4 曲线与方程课时闯关 文（含解析）新人教a版

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1、2014届高考数学一轮复习7.4曲线与方程课时闯关文（含解析）新人教A版一、选择题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是(　　)A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔.∴或.2．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是(　　)A．y2＝8－4xB．y2＝4x－8C．y2＝16－4xD．y2＝4x－16解析：选C.设曲线y2＝4x关于x＝2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P(x，y)，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点为Q

2、(4－x，y)．因为Q(4－x，y)在曲线y2＝4x上，所以y2＝4(4－x)，即y2＝16－4x.3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴，y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　)A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选C.设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即代入①式整理可得x2＋＝1.4．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，且

3、

4、＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选

5、A.设M(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则由

6、

7、＝5，得a2＋b2＝25(*)，由＝＋，∴(x，y)＝(a,0)＋(0，b)＝(a，b)，得x＝a，y＝b.故a＝x，b＝y，代入(*)式化简得＋＝1.5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是(　　)A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：选D.在边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x

8、轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等，∴

9、x

10、＝，∴x2－y2＝a2.二、填空题6．(2011·高考北京卷)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由

11、PF1

12、·

13、PF2

14、＝a2，可得·＝a2(a>1)，

15、将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S＝

16、PF1

17、

18、PF2

19、·sinθ＝a2sinθ≤a2，故③正确．答案：②③7．已知＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是________．解析：设Q(x，y)，由＋＝(2＋2cosα＋x,2＋2sinα＋y)＝0，∴∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.答案：(x＋2)2＋(y＋2)

20、2＝48．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，则线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设点M的坐标为(x，y)，由M是AB的中点得A(2x，0)，B(0，2y)．如图，连结PM，由l1与l2垂直得，∠APB＝90°，∴

21、AB

22、＝2

23、PM

24、，即＝2，化简得x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝0三、解答题9．已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足

25、

26、＝

27、

28、，＝λ(λ∈R)，求点C的轨迹方程．解：设C(x，y)为

29、轨迹上任一点，则G(，)，∵＝λ(λ∈R)，∴GM∥AB，又M是x轴上一点，则M(，0)，又

30、

31、＝

32、

33、，∴＝，整理得＋y2＝1(x≠0)，即为点C的轨迹方程．10．(2011·高考安徽卷)设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足B＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足Q＝λ，求点P的轨迹方程．解：由Q＝λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B

34、(x1，y1)，由B＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，解得②将①式代入②式，消去y0，得③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边