2013版高中数学 1-3-3同步练习 新人教b版选修2-2

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1、选修2-21.3.3一、选择题1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为(　　)A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm[答案]　B[解析]　设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.其中0

2、x)＝0，则x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B.2．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8B.C．－1D．－8[答案]　C[解析]　∵f′(x)＝x2－2x(0≤x≤5)，∴原油温度的瞬时变化率为：x2－2x，其最小值为－1.3．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为(　

3、　)A.RB.RC.RD.R[答案]　A[解析]　作轴截面如图，设圆柱高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.令V′＝0得2πR2－6πh2＝0，∴h＝R.即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．故选A.4．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为(　　)A．32m2B．14m2C．16m2D．18m2[答案]　C[解析]　设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.5．(2

4、010·山东卷文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]　C[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加1

5、00元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．200C．250D．300[答案]　D[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝.P′＝.令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D.7．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为(　　)A．2πr2B．πr2C．4πr2D.πr2[答案]　A[解析]　如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rco

6、sθ，l＝2rsinθ.∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，∴θ＝，即当θ＝，R＝时，S侧最大，且最大值为2πr2.故选A.8．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对[答案]　B[解析]　设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0即3x2－3(8－x)2＝0得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝

7、4时，y最小，故选B.9．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(　　)A．0.5m　　　B．1m　　　C．0.8m　　　D．1.5m[答案]　A[解析]　设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.10．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利

8、用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(　　)A．32　16B．30　15C．40　20D．36　18[答案]　A[解析]　要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L