（浙江专版）2018年高中数学 课时跟踪检测（十五）空间向量的正交分解及其坐标表示 新人教a版选修2-1

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1、课时跟踪检测（十五）空间向量的正交分解及其坐标表示层级一　学业水平达标1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　)A．(－3，－2,3)　　　　　B．(－3,2，－3)C．(－3,2,3)D．(－3，－2，－3)解析：选C　由对称定义知．2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向

2、量．因此p⇒/q，q⇒p.3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)A．向量的坐标与点B的坐标相同B．向量的坐标与点A的坐标相同C．向量与向量的坐标相同D．向量与向量－的坐标相同解析：选D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于＝－，所以D正确．4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　)A.＋＋B.(＋＋)C.(＋＋)D.＋＋解析：选B　如图，＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋)．5．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝

3、2，N为BC中点，则为(　　)A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：选B　＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝__

4、______，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有解得答案：2　－28．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－.答案：－9．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求实

5、数x，y，z的值．解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．(2)＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b.∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(

6、b

7、2－

8、a

9、2)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1.层级二　应试能力达标1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成

10、为空间的一个基底的关系是(　　)A．＝＋＋B．＝＋C．＝＋＋D．＝2－解析：选C　对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底

11、．其中正确命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选D　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.3．在长方体ABCDA1B1C1

12、D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(1,1,1)B.C．(3