1、课时达标 第22讲解三角形应用举例[解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等．一、选择题1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( A )A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里解析 如图所示
2、，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里．故选A．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是( D )A．100m B．400mC．200m D．500m解析 由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得
3、BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m.3．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝( A )A． B． C． D．解析 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52
4、＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.4．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，设该建筑物的高度为hm，则h＝( A )A．30＋30 B．30＋15C．15＋30 D．15＋15解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝.
5、由正弦定理，得＝，所以PB＝＝30(＋)，故建筑物的高度h＝PBsin45°＝30(＋)×＝30＋30.5．(2018·河南天一大联考)2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北θ的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和θ的值分别为(附：≈8.585)( A )A．858.5,60° B．858.5,30°C．717,60° D．717,30°解析 如图，根据题意，3小时
6、后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内，根据余弦定理得t2＝9002＋902－2×90×900cosθ，t2＝9002＋8102－2×810×900cosθ，解得cosθ＝，所以θ＝60°，∴t2＝9002＋902－2×90×900cos60°＝737100，∴t＝858.5.故选A．6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝( C )A．240(－1)m B．180(－1)mC．120(－1)m
