（浙江专版）2018年高考数学 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数与平面向量 专题限时集训3 平面向量

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1、专题限时集训(三)　平面向量(对应学生用书第117页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组　高考达标]一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)A．(2,4)　　B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)C　[＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．已知单位向量a和b满足

2、a＋b

3、＝

4、a－b

5、，则a与b的夹角的余弦值为(　　)【导学号：68334052】A．－B．－C.D.C　[由

6、a

7、＝

8、b

9、＝1，

10、a＋b

11、＝

12、a－b

13、，得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝，故选C.]3．已知向量

14、＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝

15、

16、

17、

18、cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]4．将＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝(　　)A.B.C.D.A　[由题意可得的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则＝，故选A.]5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，

19、

20、＝

21、

22、，则向量在方向上的投影等于(　　)【导学号：68334053】A．－　　　B.C.　　　D．3

23、C　[由＝(＋)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以

24、

25、＝

26、

27、＝

28、

29、.又因为

30、

31、＝

32、

33、＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且

34、

35、＝，所以在方向上的投影为

36、

37、·cos∠ABC＝×cos30°＝，故选C.]二、填空题6．在如图31所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．图31　[设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋

38、yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.]7．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设P为△ABC所在平面内一点，且满足3＋4＝m(m＞0)．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为________．14　[以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，a＞0，由△ABP的面积是8，设P，C(x，y)，则由3＋4＝m得3×＋4×＝m(2a,0)，则－＋4×＝0，y＝，所以△ABC的面积是×2a×＝14.]8．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则·＝__________.【导学号：68

39、334054】－　[∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝1×1×cos60°－×1×cos30°－×1×cos30°＋2＝－.]三、解答题9．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若

40、a

41、＝

42、b

43、，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解]　(1)由

44、a

45、2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，

46、b

47、2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及

48、a

49、＝

50、b

51、，得4sin2x＝1.4分又x∈，从而sinx＝，所以x＝.6分(

52、2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，12分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.15分10．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知m＝(sinωx，cosωx)，n＝(cosωx，－cosωx)(ω＞0，x∈R)，f(x)＝m·n－且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝，f(B)＝0，sinA＝3sinC，求a，c的值及△ABC的面积.【导学号：68334055】[解]　(1)f(x)＝m·n－＝sinωxco

53、sωx－cos2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx－1＝sin－1.3分∵相邻两对称轴之间的距离为，∴T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－1，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.7分(2)由(1)知，f(B)＝sin－1＝0，∵0＜B＜π，∴－＜2B－＜，∴2B－＝，∴B＝.13分由sinA＝3sinC及正弦定理得a＝3c，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝