(浙江专版)2018年高中数学 课时跟踪检测(七)直线与椭圆的位置关系 新人教a版选修2-1

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1、课时跟踪检测(七)直线与椭圆的位置关系层级一 学业水平达标1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(  )A.相切         B.相交C.相离D.不确定解析:选B 直线y=kx-k+1可变形为y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆+=1内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选B.2.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是(  )A.B.C.D.解析:选A 由消去y得,(m+n)x2-2nx+n-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x

2、0,y0),则x1+x2=,∴x0=,代入y=1-x得y0=.由题意=,∴=,选A.3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(  )A.(0,1)B.0,C.0,D.,1解析:选C ∵⊥,∴点M在以F1F2为直径的圆上,又点M在椭圆内部,∴c0,∴0

3、

4、=(  )A.B.2C.D.3解析:选A 设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:+

5、y2=1知a2=2,b2=1,∴c2=1,即c=1.∴右焦点F(1,0).由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).∴1=3(x0-1)且n=3y0.∴x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得×2+2=1.解得n2=1,∴

6、

7、===.5.(全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得x2-a2

8、x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3.所以E的方程为+=1.6.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为______.解析:由消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.∴弦长

9、MN

10、=

11、x1-x2

12、===.答案:7.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),

13、

14、=1,且·=0,则

15、

16、的最小值是________.解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.∵·=0,∴⊥.∴

17、

18、2=

19、

20、2-

21、

22、

23、2=

24、

25、2-1,∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故

26、

27、min=2,∴

28、

29、min=.答案:8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.解析:由+=1可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则·=x2+x+y2=x2+x+31-=x2+x+3=(x+2)2+2,当且仅当x=2时,·取得最大值6.答案:69.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.解:∵a2=4,b2=1,∴c==,∴右焦点F(,0),∴直线l的方程y=x-.由消去y并整理,得5x2-8x

30、+8=0.设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴

31、AB

32、===,即弦AB的长为.10.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入C的方程得=1,∴b=4.又e==,得=,即1-=,∴a=5,∴C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,解得x1+

33、x2=3,∴AB的中点坐标x0==,y0==(x1+x2-6)=-,即中点坐标为.层级二 应试能力达标1.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为(  )A.2          B.1C.0D.0或1解析:选A 由题意,得>2,所以m2+n2<4,则-2

34、4kx+20=0,当Δ=

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