高考数学 玩转压轴题 专题2.12 已知函数增或减导数符号不改变

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1、专题2.12已知函数增或减导数符号不改变【题型综述】用导数研究函数的单调性（1）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（2）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥。常用思想方法：函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．【典例指引】例1．已知函数，．⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；

2、⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围．【思路引导】（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；若函数在区间上单调递增，则在恒成立，，得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，，得，综上，实数的取值范围为例2．已知函数．（x＞0）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．【思路引导】（1）函数求导，令得函数增区间，令得函数的减区间；（2）函数为上单调增函数，只需在上恒成立即可．点

3、睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．例3．已知函数．（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围【思路引导】（1）根据

4、切线的倾斜角为得到切线的斜率，根据导数的几何意义可以知道处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可;（2）根据函数在区间上单调递增，可转化成，对恒成立，将参数a分离，转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实数a的范围【同步训练】1．已知函数．（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果．（2），则．设

5、，①当时，，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；②当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为．当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；③当时，由可得在内恒成立，故只需或，即或，解之得．综上可知，实数的取值范围是．2．已知函数．（1）若在上递增，求的取值范围；（2）证明：．【思路引导】（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间，是增区间的子区间．（2）当时，，显然成立．当时，即证明，令（），即求，由导数可证．∴，即．综上，．3．已知函数．（1）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，求的表达式

6、；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．4．设函数．（1）若时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围．【思

7、路引导】（1）先求函数的导函数，根据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函数可转化成只需在内有恒成立，根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可．【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法②求解的．5．己知函数，．（I）求函数上零点的个

8、数；（II）设，若函数在上是增函数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）先求得，