高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用例题与探究 新人教a版选修2-3

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1、2.2二项分布及其应用典题精讲【例1】掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.思路分析:首先搞清所求概率是在什么条件下的事件的概率.利用古典概率进行求解.解：设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,故所求概率为P=.绿色通道：在等可能性事件的问题中,求条件概率可采用古典概型的方法更容易理解.计算出基本事件的总数,然后算出有利事件数,从而求出概率.变式训练掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个为6的概率.解：在“点数不同”(事件A)的条件下,总的基本事件数为=30，至少

2、有一个点数为6的(事件B)事件的个数为×2=10,∴P(B

3、A)=.【例2】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？思路分析:与例1不同的是此题适合运用条件概率的公式来求解,分清事件A,事件AB.解：A={任选一人是女生}，B={任选一人来自北京}，依题意知道北京的学生有女生8名，这是一个条件概率问题，即计算P（B

4、A）.由于P（A）=,P(AB)=,则P(B

5、A)=.绿色通道：求条件概率问题要把握在什么前提条件下的概率问题,也就是搞清事件A、事件B、以及事件AB和它们

6、发生的概率，再利用条件概率公式进行求解.变式训练根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切？以“四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率的大小来说明.解:设A为“某地四月份刮东风”，B为“某地四月份下雨”，则P(A)=,P(B)=,在“某地四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率P(B

7、A)=.【例3】甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为和,求:(1)两个人都译出密码的概率;(2)两个人都译不出密码的概率;(3)恰有一人译出密码的概率;(4)至多一人译出密码的概率;(5)至少一人译出密码

8、的概率.思路分析:把甲独立破译记为事件A,乙独立破译记为事件B,A与B相互独立,与B也相互独立.解:记A为甲独立的译出密码,B为乙独立的译出密码.(1)两个人都译出密码的概率P(AB)=P(A)P(B)=.(2)两个人都译不出密码的概率为P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=.(3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不出,即∴P()=P()+P()=P(A)P()+P()P(B)=.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,∴1-P(AB)=1-P(A)P（B）=.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码,∴1-

9、P()=.绿色通道：求相互独立事件同时发生的概率时,运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简化.变式训练甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为,三人都做对的概率为,三人全做错的概率为.(1)分别求乙、丙两人各自做对此题的概率;(2)求甲、乙、丙中恰有一人做对此题的概率.解：(1)设甲、乙、丙三人各自做对此题分别为事件A、B、C,则P(A)=,由题意可知:解得P(B)=,P(C)=或P(B)=,P(C)=.(2)设甲、乙、丙中恰有一人做对此题为事件D,则P

10、(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=.【例4】设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.思路分析:至少一人命中可考虑对立事件无人命中;恰有两人命中要分为三个互斥事件,具体哪两个命中;甲单独射击目标3次就是独立重复试验问题.解:（1）设Ak表示“第k人命中目标”，k=1、2、3.这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.从而，至

11、少有一人命中目标的概率为1-P（）=1-P（）P（）P（）=1-0.3×0.4×0.5=0.94.恰有两人命中目标的概率为P(A1A2+A1A3+A2A3)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A4)=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44.答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.(2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发