备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题

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1、专题40新信息背景下的数列问题【热点聚焦与扩展】含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度

2、陡然增加.本专题通过例题说明应对这种“新信息”背景下数列问题的方法与技巧.1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的

3、数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基依然是我们所学的一些基知识与方法.所以在考虑问题时也要注意应用转化与化归思想，向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考查的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【经典例题】例1.【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知数列中，，定义，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.所以故选C.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新

4、定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.例2.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：由题意,，则，很明显n⩾2时,，

5、即，解得：.实数的取值范围为.本题选择B选项.例3.【2018届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．详解：由题意得直线的斜率为，即，解得．当时，直线的斜率为，即，又满足上式，∴．∴数列的前项和为．点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后

6、再结合数列的相关知识求解．例4.【2018届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和.(2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系例

7、5.【2018届四川省南充市三诊】在数列中，若(，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列；③若是等方差数列，则(，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为__________(写出所有正确命题的序号).【答案】①②③【解析】分析：根据等方差数列的定义①{an}是等方差数列，则an2-an-12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证akn+12