《立体几何垂直》word版

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1、新希望教育培训学校资料空间中的垂直关系一、重难点：1直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定不光是确立垂直关系的重要依据，也以后计算角和距离重要环节。因此，垂直关系及其相互转化是整个立体几何部分的重点和关键。2在几何体中考查线线、线面、面面的平行与垂直关系是重点，而有关线线角、线面角、二面角的求解是重中之重。难点是二面角的求法。熟练应用定义法、转化法求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小，求各种距离，特别是求点到平面距离。二、基础知识(一)、直线与平面垂直1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其

2、中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。2、直线与平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。③其它方法：（Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂

3、直于一个平面,那么这两条直线平行。4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式：．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。Ⅱ、平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

4、2、两平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：，。心在哪儿新的希望就在哪儿新希望教育培训学校资料3、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直。Ⅲ、要有升降维”思想，熟练掌握各类垂直的相互转化：线线垂直线面垂直面面垂直，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。例如：有两个平面垂直时，

5、一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。基础巩固训练1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（）A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l与B

6、D1相交D．不确定。B2、（2009广东卷理）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）。【解析】选D.A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④例题1、（2009北京卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面

7、所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，心在哪儿新的希望就在哪儿新希望教育培训学校资料∴平面。（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△