高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法学案新人教a版选修2-1

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1、3.2立体几何中的向量方法【学习目标】学会用向量表示空间的点、线、面，会求一个平面的法向量并能运用法向量解决简单的立几问题。【本课重点】方向向量与法向量，用向量解决立几问题的基本思路。【本课难点】求一个平面的法向量及法向量运用。教学过程：一、自学探究探究一：如何把点、直线、平面的位置用向量表示出来？法向量的概念是什么？探究二：如何利用直线的方向向量和平面的法向量来解决立体几何几何问题？设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α，的法向量分别为u，v，线线平行：l//m；线面平行：l//α;面面平行：α//β

2、；线线垂直：l⊥m；线面垂直：l⊥α；面面垂直：α⊥β；线线垂直：l⊥m；线面垂直：l⊥α；面面垂直：α⊥β；如果向量a、b，u、v用坐标表示，条件有何变化？探究三：用向量法解决立体几何问题的基本思路与方法是什么？基础训练：1．设a、b分别是直线，的方向向量，根据下列条件判断直线，的位置关系：（1）a，b（2）a，b（3）a，b2．设u，v分别是平面α，的法向量，根据下列条件判断平面α，的位置关系：（1）u，v（2）u，v（3）u，v二、例题研究例1．已知，，求平面ABC的单位法向量。例2．用向量法证明：一

3、个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。例3．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE．证明：【课堂小结】平面的法向量确定空间平面位置，凡涉及到与平面有关的问题，都可能需要求平面的法和量，因此，熟练掌握求平面法向量的方法和树立用法向量解题的意识都显得十分重要。用向量解决立几问题的“三步曲”要熟练掌握。3.2立体几何中的向量方法（第2课时）（平行关系）【学习目标】掌握利用向量法解决立几中平行关系问题的基本方法。【本节重点】利用向量解决立几中平行关系问题的思路与方法．【本节

4、难点】建立立体图形与空间向量之间的联系，把平行问题转化为向量问题．一、课前复习：回顾用向量法解决线线平行，线面平行，面面平行的基本思路与方法。二、例题研究ADBCP例1．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2，求证：AE//FG.ADBCP例2．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求证：PA//平面EDBADBCP例3．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P

5、D⊥底面ABCD，PD=DC=6，E是PB的中点，PF=FG=GC，求证：面AEF//面BDG.例4．三棱柱中，D是的中点，求证：∥面【课堂小结】3.2立体几何中的向量方法（第3课时）（垂直关系）【学习目标】掌握利用向量法解决立几中垂直关系问题的基本方法。【本节重点】利用向量解决立几中垂直关系问题的思路与方法．【本节难点】建立立体图形与空间向量之间的联系，把垂直问题转化为向量问题．一、课前复习：回顾用向量法解决线线垂直，线面垂直，面面垂直的基本思路与方法。二、例题研究例1．四面体ABCD的六条棱长相等,AB

6、、CD的中点分别是M、N,求证：MN⊥AB,MN⊥CD证明：方法一：（立几法）方法二：（向量法）PDBCEF例2．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F，求证：PB⊥平面EFDAABCDA1B1C1D1例3．在正方体中，E是的中点，求证：平面EBD⊥平面ADBCP练习：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，G是PB上的点，求证：平面GAC⊥平面PBD.§3.2立体几何中的向量方法（第4课时）（夹角问题）【学

7、习目标】掌握利用向量法解决立几中夹角问题的基本方法。【本节重点】利用向量解决立几中夹角问题的思路与方法．【本节难点】建立立体图形与空间向量之间的联系，把夹角问题转化为向量问题．一、自学探究探究：向量的夹角公式有何作用？如何利用向量的夹角公式解决异面直线所成的角，直线与平面所成的角以及二面角的平面角的问题？二、例题研究：例1．如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．解：（方法一：几何法）（方法二：向量法）例2．长方体中，AD==2，AB=4，E、F分别是、AB的中点，O是的交

8、点，求直线OF与平面DEF所成角的正弦.ABCD例3．如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为ｃ，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值.练习：已知单位正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是棱B1C1和C1D1的中点。求：FEDA1D1C1B1ABC（1）AD1与EF所成角的大小；（2）AD1与平面BDEF