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1、第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1设曲面是光滑的,函数在上有界,把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积并作和如果当各小块曲面的直径的最大值时,这和式的极限存在,则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为(4.2)其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法(4.3)例题选讲例1计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解的方程为在面上的投影区域又利用极坐标故有例2（E01）计算其中为平面被柱面所截得的部分.解积分曲面其投影域故例3（E02）计
2、算其中是由平面及所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，注意到在上，被积函数故上式右端前三项积分等于零.在上，所以从而其中是在面上的投影区域.例4计算其中为抛物面解根据抛物面对称性,及函数关于坐标面对称,有例5计算其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.解在面上得投影域于是将投影到面上，得投影域所以例6（E03）计算为内接于球面的八面体表面.解被积函数关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面也具有对称性,故原积分其中在面上的投影为而所以例7（E04）求球面含在圆柱体内部的那部分面积.解由对称性知，所求曲面面积是第一卦限上面
3、积的4倍.的投影区域曲面方程故所以例8设有一颗地球同步轨道卫星,距地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为的圆锥面所截得的部分.的方程为它在面上的投影区域于是通讯卫星的覆盖面积为将代入上式得由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当是
4、面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算,其中为锥面被平面和所截得的部分..3.求半径为的球的表面积.第二节第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质定义1设为光滑的有向曲面,其上任一点处的单位法向量又设其中函数在上有界,则函数则上的第一类曲面积分(5.5)称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为,则..(5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1(E01)计算曲面积分
5、其中是长方体的整个表面的外侧.解如图(见系统演示),把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值为零,因此类似地可得于是所求曲面积分为例2(E02)计算其中是球面外侧在的部分.解把分成和两部分利用极坐标例3(E03)计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.解在曲面上，有课堂练习1.当是面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数
6、，则有公式(6.1)这里是的整个边界曲面的外侧,是上点处的法向量的方向余弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为二、通量与散度一般地，设有向量场,其中函数、、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面的单位法向量.则沿曲面的第二类曲面积分称为向量场通过曲面流向指定侧的通量.而称为向量场的散度，记为，即.(6.5)例题选讲利用高斯公式计算
7、例1（E01）计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解利用高斯公式，得原式=（利用柱面坐标）例2（E02）计算其中为旋转抛物面在部分的外侧.解作辅助平面则平面与曲面围成空间有界闭区域由高斯公式得例3（E03）计算其中为锥面,为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面取的上侧，则构成封闭曲面，设其所围成空间区域为于是而故例4（E04）证明:若为包围有界域的光滑曲面,则其中为函数沿曲面的外法线方向的方向导数，,在上具有一阶和二阶连续偏导数，符号称为拉普拉斯算子.这个公式称为格林第一公式.
8、证因为，其中是在点处的外法线的方向余弦，于是将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场的流量(1)穿过圆锥的底(向上);(2)穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设及分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量(1)穿过底面向上的
