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1、第二章曲面论第七节曲面积分的计算一、第一类曲面积分的计算例1.计算下列曲面积分：（1），其中是四面体的边界；（2），其中是抛物面；（3），其中是圆锥面被圆柱面所割下的部分.解（1）曲面由四部分组成，；；；；；27；；对曲面，，，，故；（2）曲面，,，由区域的对称性和被积函数的对称性，再利用极坐标变换，27；（3）所截得的曲面为：，，；；采极坐标变换计算此二重积分，，，，；.27例2、设是上的连续函数，试证：，其中。解取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于该面，即是作正交变换，点在中的坐标为，则有，在新坐标系
2、下，公式左端的积分可写为，。27例3、设是上的连续函数，证明：，其中为.证明取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于该面，点到平面的距离为；点在中的坐标为，则有在新坐标系下，公式左端的积分可写为显然，球面的方程为或，若表示成参数式，则为27其中；，，，，，从而，于是，最后得到.例4、设表示从原点到椭球面，上点处的切平面的距离，求第一型曲面积分.解：容易知道，椭球面上点处的切平面方程为，27于是，即得，由对称性，，，，.27一、第二型曲面积分的计算例1.计算下列第二型曲面积分：（1），其中，内侧；（2），其中，
3、外侧.解（1）因为球面的内单位法向量为，，所以；（由曲面的对称性与被积函数的奇函数性质。）（2）因为球面的外单位法向量为，，27所以.例2.计算积分，其中，外侧.解上半椭球面，上侧；下半椭球面，下侧；；，，，27，故.例3.计算积分，其中的边界，外侧.解；首先计算，在长方体的六个面上，显然在长方体的四个侧面上，，在上底面的上侧，在下底面的下侧；于是，同理，，故27.例4.计算积分，其中：，外侧.解方法一根据轮换对称,只要计算一个积分,例如计算,其中上半椭球面的方程为,，下半椭球面的方程为,,先转换成二重积分，然后
4、利用广义极坐标,即得27；于是,我们有；方法二上半椭球面的方程为,,下半椭球面的方程为,;27;方法三，其中；，，，，故27.一、高斯公式的运用于计算第二类曲面积分例1.计算积分，其中为区域的边界的外侧.解这里，：，，由高斯公式，得.例2.计算积分，是抛物面27，方向朝下.解（由于不是封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，再由，得出27.例1.计算积分，是锥面，方向朝下.解（由于不是封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：
5、，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，再由27，得出.例1.计算积分，其中为球面的外侧.解区域，利用高斯公式，得.例2.设是一闭域，表示区域的边界，向量是的单位外法向量，是一个固定的向量.求证.27证明设，因为，，利用高斯定理得.例6.设是一闭域，表示区域的边界，向量是的单位外法向量，点.令，且.求证：.证明先设点，，，利用高斯定理得27，故；当点，而在的内部时，这时在上不能直接应用高斯公式。必须用一小区域将点挖掉，即以为中心，为半径作一开球（充分小），其边界（球面）以表示.对闭域应用高斯公式
6、，仿上可得，在（球面）以上，（是上的单位外法向）的方向与方向相反，于是，从而，由此可知，在前式中令，取极限，即得,故.27例7、计算解:这是一个第二类曲面积分,我们不妨假设其方向为外法线方向.设,,经演算得到,在原点附近补一个小椭球,使其完全包含在内,在与之间的区域,被积函数有连续偏导数，由,满足公式,所以==27(利用公式),或者在曲面积分时作代换，，,,，，，27，,.一、斯托克斯公式运用于计算第二类曲线积分例1.计算曲线积分,其中为圆周，,从轴正向往负向看,的方向是顺时针的.解解法一(利用曲线的参数方程直接
7、计算.)曲线是圆柱面与平面27的交线,这是一个椭圆,其参数方程为,由于是顺时针方向,所以从变到0.于是.解法二(利用斯托克斯公式.)用记平面在圆柱内的部分，平面的方向，所以27.例2.计算曲线积分,其中为圆周，,从轴正向往负向看,的方向是逆时针的.解用记平面在球内的部分，,平面的方向，利用斯托克斯公式，得.例3.利用斯托克斯公式计算下列积分：（1），为圆周，，27从原点向第一卦限看去，是反时针方向绕行的；（2），为椭圆，，眼睛从点向看去，是反时针方向绕行的；（3），为，，从原点向看去，是反时针方向绕行的.解（1）
8、用记平面在球内的部分，平面的方向，利用斯托克斯公式，得.（这里选曲线27所围的曲面为平面，计算来的就简单；若选曲线所围的曲面为半球面，则计算起来就难了.以曲线为边界的曲面，有许多个，我们当然选择容易计算的那个曲面，一般选由曲线所围的平面或球面.）（2）用记平面在圆柱内的部分，平面的方向，利用斯托克斯公式，得；（3）用记平面在球内的部分，平面的方向，利用斯托克斯公式，得27
