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时间:2018-12-21
《备战2018年高考数学 纠错笔记系列 专题03 导数及其应用 文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题03导数及其应用易错点1不能正确识别图象与平均变化率的关系A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示,则一定有A.两机关单位节能效果一样好B.A机关单位比B机关单位节能效果好C.A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0,t0)上,的图象比的图象陡峭,所以在(0,t0)上用电量的平均变化率,A机关单位比B机关单位大.【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间
2、的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清.【参考答案】B1.平均变化率函数从到的平均变化率为,若,,则平均变化率可表示为.2.瞬时速度一般地,如果物体的运动规律可以用函数来描述,那么,物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内,当无限趋近于0时,无限趋近的常数.1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段上的平均速度分别为,,则三者的大小关系为A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,由图象易知,∴,故选C.易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线,则切线方程为A.B
3、.C.或D.或【错解】设,由定义得f′(2)=12,∴所求切线方程为,即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同.求曲线过点P的切线时,应注意检验点P是否在曲线上,若点P在曲线上,应分P为切点和P不是切点讨论.故经过点P的曲线的切线有两条,方程为或.【参考答案】D1.导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2.曲线的切线的求法若已知曲线过点,求曲线过点P的切线,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解:(1)当点是切点时,切线方程为;(2)当点不是切点时,可分以下几步完成:第一步:
4、设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步:写出过的切线方程为;第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程,可得过点的切线方程.2.已知曲线,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,则切线的方程为.【答案】故切线方程为.在求曲线的切线方程时,要注意区分是求某点处的切线方程,还是求过某点(不在曲线上)的切线方程,前者的切线方程为,其中切点,后者一般先设出切点坐标,再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数:(1);(2).【错解】(1);(2).【错因分析】
5、(1)求导是对自变量求导,要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x,a是常量;(2)商的求导法则是:分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【参考答案】(1);(2).1.导数计算的原则先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.2.导数计算的方法①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;③对数形式:先化为和、差的形式,再求
6、导;④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;3.函数在处的切线方程为A.B.C.D.或【答案】B【解析】∵,∴,又x=1时,y=2,∴切线方程为,即.(1)要准确记忆导数公式表和导数的运算法则,不要将幂函数与指数函数的导数公式,与的导数,与的导数及积与商的导数公式记混弄错.(2)本题中是指数函数,而不是幂函数,常将幂函数与指数函数且的导数公式记混而导致错误.易错点4审题不细致误设函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若在定义域上是增函数,求实数a的取值范围
7、.【错解】(1)∵,∴,∴.∴,令,得或,令,得,∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.【错因分析】错解有多处错误:一是忽视了定义域的限制作用,研究函数一定要注意函数的定义域;二是将单调区间取并集,函数的单调区间不要随意取并集;三是对不等式恒成立处理不当,对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分.(2)若在定义域上是增函数,则对x>0恒成立,∵,∴需x>0时恒成立,即对x>0恒成立.∵,当且仅当x=1时取等号,∴,即实数a的取值范围是.【参考答案】(1)函数的单调递增区间为,单调递
8、减区间为;(2).用导数求函数的单调区间的“三个方法”:1.当不等式(或)可解时,①确定函数的定义域;②求导数;③解不等式,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式,解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.当方程可解时,①确定函数的定义域;②求导数,令,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数的间断点(即的无定义点)的
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