基本不等式及的应用

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1、实用标准文案基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件≤a>0，b>0a＝b三、常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤()2(a，b∈R)(3)≥()2(a，b∈R)(4)＋≥2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.四、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

2、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+：当且仅当a＝b时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2.(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：

3、等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？精彩文档实用标准文案3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．【错因分析】　错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的

4、最值才是正确的．【正确解答】　z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0

5、会出错．课堂纠错补练：若0

6、1）已知均为正数，求证：（2）已知为不全相等的正数，求证：精彩文档实用标准文案（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.【证明】　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)．∴＋≥4.∴原不等式成立．练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.证明：∵a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．考点2　利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而

7、拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4：(1)设00，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值

8、是.(2)x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求xy的最大值.（4）已知＋a，求的取值范围．精彩文档实用标准文案显然a≠2，当a>2时，a－2>0，∴＋a＝＋(a－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝a－2，即a＝4时取等号，当a<