基本不等式及实际应用

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1、基本不等式的应用§5.4基本不等式及其应用基础知识自主学习要点梳理1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b，我们把称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.（3）结论：两个正数a,b的算术平均数其几何平均数.a≥0,b≥0a=b不小于3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)4.利用基本不等式求最值设x,y都是正数.（1）如果积xy是定值P，那么当时，和x+y有最小值.（2）如果和x+y是定值S，那么当时积xy有最大值.即“一正、二定、三

2、相等”,这三个条件缺一不可.2x=yx=y思维活动：（5）求函数的最大值_____（2）已知且求的最大值___10（4）求函数的最小值_____40例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形的长、宽各为，由题意可得且。则篱笆的长可表示为，根据得，当且仅当时取等号，故长、宽均为时，所用的篱笆最短。且得时取等号，故长、宽均为时，所用的篱笆最短。解决实际问题的步骤

3、：（1）正确理解题意，设变量时，一般可把欲求最大（小）值的变量视为函数；（2）建立有关函数关系（目标函数），把实际问题转化为求目标函数的最大（小）值问题；（3）在允许范围内，求出最大（小）值；（4）根据实际问题写出答案。例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形的长、宽各为，由题意可得且。矩形的面积为由得，当且仅当时等号成立。1：一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩

4、形菜园，墙长18米，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？变式练习：（1）若墙的长度为15米呢？（2）若墙的长度为12米呢？练习设矩形的长为xm,宽为ym菜园的面积为s则由基本不等式的性质，可得例3某工厂要建造长方形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解：设底面的长为为xm,宽为ym，水池总造价为z元根据题意，有由容积为4800，可得即当x=y,即x=y=40时，等号成立所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时

5、总造价最低，最低总造价是297600当x=y,即x=y=40时，等号成立因此由基本不等式与不等式的性质，可得练习2做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？练习2做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？设底面的长与宽分别为am,bm.因为体积等于32高为c=2m所以底面积为16，即即即即即解所以，用纸面积是例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养路消化酶，汽油消化酶约为0.9万元，年维修消化酶第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，则这种汽车使用多少年时，它的年

6、平均费用最少？解：设使用年平均费用最少，汽车的平均费用为万元。则：汽车使用年总的维修费用是万元。且整理得：当且仅当，即＝10时，＝3。答：汽车使用10年平均费用最少。【例5】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.解题示

7、范解（1）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).［2分］从而有y1=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417.［4分］当且仅当=3x，即x=10时，y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［6分］（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费

8、用为y2，则y2=(3x2-3x+300)+200×1.8×0.85=+3x+303(x≥25