（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7 二次函数与幂函数

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1、课时达标　第7讲二次函数与幂函数[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝(　C　)A．　　　B．－C．或－　　　D．2解析　因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1.又f(x)的图象过点，所以a＋1＝，所以a＋1＝，所以a＝－，所以k＋a＝±1－＝－或.2．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c

2、的符号为(　B　)A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＜0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0解析　由题意知，抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－>0，所以b>0.3．对任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)A．(－∞，0]　　　B．(－∞，3]C．[0，＋∞)　　　D．[3，＋∞)解析　设f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故

3、选D．4．对于幂函数f(x)＝x，若0C．f＝D．无法确定解析　根据幂函数的性质：当0<<1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B项正确．5．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　C　)A．f(m＋1)≥0　　　B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0　　　D．f(m＋1)<0解析　因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－10，所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C．6．函数f(x)＝a

4、x2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为(　A　)A．5　　　B．6C．8　　　D．与a，b的值有关解析　①当a＝0时，由f(－1)＝f(3)可知b＝0，此时f(x)＝5，所以f(2)＝5.②当a≠0时，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的图象关于x＝＝1对称，则f(2)＝f(0)＝5.故选A．二、填空题7．已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)

5、．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__f(x)＝(x－2)2－1__.解析　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝，∴f(x)＝(x－2)2－1.9．已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是__[－5，－2]__.解析　由题意得函数f(x)在[－2,2]上的值域A为函数g(x)在[－2,2]上的值域B的子集，又当x

6、∈(0,2]时，f(x)＝2x－1∈(0,3]，所以当x∈[－2,0)时，f(x)∈[－3,0)，而f(0)＝0，因此A＝[－3,3]．由二次函数性质知B＝[m－1,8＋m]，从而解得－5≤m≤－2.三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．解析　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∵x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4

7、)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．11．(2018·甘肃武威一中检测)已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．解析　(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－.当m＝1时，f